Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- (dos +x)^ dos /x^ dos
- (2 más x) al cuadrado dividir por x al cuadrado
- (dos más x) en el grado dos dividir por x en el grado dos
- (2+x)2/x2
- 2+x2/x2
- (2+x)²/x²
- (2+x) en el grado 2/x en el grado 2
- 2+x^2/x^2
- (2+x)^2 dividir por x^2
-
Expresiones semejantes
- (2-x)^2/x^2
Límite de la función (2+x)^2/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
|(2 + x) |
lim |--------|
x->oo| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x^{2}}\right)$$
Limit((2 + x)^2/x^2, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{1}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{1}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(4 u^{2} + 4 u + 1\right)$$
=
$$0 \cdot 4 + 4 \cdot 0^{2} + 1 = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x^{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{1}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{1}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(4 u^{2} + 4 u + 1\right)$$
=
$$0 \cdot 4 + 4 \cdot 0^{2} + 1 = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x^{2}}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 4 x + 4\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 4 x + 4\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 4}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 4\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 4 x + 4\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 4 x + 4\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 4}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 4\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x^{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x^{2}}\right) = 9$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x^{2}}\right) = 9$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x^{2}}\right) = 9$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x^{2}}\right) = 9$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico