Sr Examen

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  • ¿Cómo usar?

  • Límite de la función:
  • Límite de (x^2+y^2)/(x^2+2*y^2)
  • Límite de acos(x) Límite de acos(x)
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  • Expresiones idénticas

  • (x^ dos +y^ dos)/(x^ dos + dos *y^ dos)
  • (x al cuadrado más y al cuadrado ) dividir por (x al cuadrado más 2 multiplicar por y al cuadrado )
  • (x en el grado dos más y en el grado dos) dividir por (x en el grado dos más dos multiplicar por y en el grado dos)
  • (x2+y2)/(x2+2*y2)
  • x2+y2/x2+2*y2
  • (x²+y²)/(x²+2*y²)
  • (x en el grado 2+y en el grado 2)/(x en el grado 2+2*y en el grado 2)
  • (x^2+y^2)/(x^2+2y^2)
  • (x2+y2)/(x2+2y2)
  • x2+y2/x2+2y2
  • x^2+y^2/x^2+2y^2
  • (x^2+y^2) dividir por (x^2+2*y^2)

  • Expresiones semejantes

  • (x^2-y^2)/(x^2+2*y^2)
  • (x^2+y^2)/(x^2-2*y^2)
Límite de la función/ x^2+y^2/ (x^2+y^2)/(x^2+2*y^2)

Límite de la función (x^2+y^2)/(x^2+2*y^2)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /  2    2 \
     | x  + y  |
 lim |---------|
x->oo| 2      2|
     \x  + 2*y /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + 2 y^{2}}\right)$$ 
Limit((x^2 + y^2)/(x^2 + 2*y^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + 2 y^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + 2 y^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y^{2}}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y^{2}}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{2} y^{2} + 1}{2 u^{2} y^{2} + 1}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} y^{2} + 1}{2 \cdot 0^{2} y^{2} + 1} = 1$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + 2 y^{2}}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + y^{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 2 y^{2}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + 2 y^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2}\right)}{\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + 2 y^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Respuesta rápida [src] 
1
$$1$$
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + 2 y^{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + 2 y^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + 2 y^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + 2 y^{2}}\right) = \frac{y^{2} + 1}{2 y^{2} + 1}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + 2 y^{2}}\right) = \frac{y^{2} + 1}{2 y^{2} + 1}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + 2 y^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
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