Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de -6+8*x/3
-
Límite de (-3+sqrt(5+x))/(-4+x)
-
Límite de ((1+x)/(-1+x))^x
-
Expresiones idénticas
- (cuatro + tres *x^ dos + diez *x)/(dos +x^ dos + cinco *x)
- (4 más 3 multiplicar por x al cuadrado más 10 multiplicar por x) dividir por (2 más x al cuadrado más 5 multiplicar por x)
- (cuatro más tres multiplicar por x en el grado dos más diez multiplicar por x) dividir por (dos más x en el grado dos más cinco multiplicar por x)
- (4+3*x2+10*x)/(2+x2+5*x)
- 4+3*x2+10*x/2+x2+5*x
- (4+3*x²+10*x)/(2+x²+5*x)
- (4+3*x en el grado 2+10*x)/(2+x en el grado 2+5*x)
- (4+3x^2+10x)/(2+x^2+5x)
- (4+3x2+10x)/(2+x2+5x)
- 4+3x2+10x/2+x2+5x
- 4+3x^2+10x/2+x^2+5x
- (4+3*x^2+10*x) dividir por (2+x^2+5*x)
-
Expresiones semejantes
- (4-3*x^2+10*x)/(2+x^2+5*x)
- (4+3*x^2+10*x)/(2+x^2-5*x)
- (4+3*x^2+10*x)/(2-x^2+5*x)
- (4+3*x^2-10*x)/(2+x^2+5*x)
Límite de la función (4+3*x^2+10*x)/(2+x^2+5*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|4 + 3*x + 10*x|
lim |---------------|
x->oo| 2 |
\ 2 + x + 5*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 x + \left(3 x^{2} + 4\right)}{5 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)$$
Limit((4 + 3*x^2 + 10*x)/(2 + x^2 + 5*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 x + \left(3 x^{2} + 4\right)}{5 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 x + \left(3 x^{2} + 4\right)}{5 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{10}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{5}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{10}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{5}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 u^{2} + 10 u + 3}{2 u^{2} + 5 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{4 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 10 + 3}{2 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 5 + 1} = 3$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 x + \left(3 x^{2} + 4\right)}{5 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 x + \left(3 x^{2} + 4\right)}{5 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 x + \left(3 x^{2} + 4\right)}{5 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{10}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{5}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{10}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{5}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 u^{2} + 10 u + 3}{2 u^{2} + 5 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{4 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 10 + 3}{2 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 5 + 1} = 3$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 x + \left(3 x^{2} + 4\right)}{5 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 3$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} + 10 x + 4\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 5 x + 2\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 x + \left(3 x^{2} + 4\right)}{5 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + 10 x + 4}{x^{2} + 5 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 10 x + 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 5 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 10}{2 x + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 10}{2 x + 5}\right)$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} + 10 x + 4\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 5 x + 2\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 x + \left(3 x^{2} + 4\right)}{5 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + 10 x + 4}{x^{2} + 5 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 10 x + 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 5 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 10}{2 x + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 10}{2 x + 5}\right)$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 x + \left(3 x^{2} + 4\right)}{5 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 3$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{10 x + \left(3 x^{2} + 4\right)}{5 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{10 x + \left(3 x^{2} + 4\right)}{5 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{10 x + \left(3 x^{2} + 4\right)}{5 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = \frac{17}{8}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{10 x + \left(3 x^{2} + 4\right)}{5 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = \frac{17}{8}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{10 x + \left(3 x^{2} + 4\right)}{5 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 3$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{10 x + \left(3 x^{2} + 4\right)}{5 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{10 x + \left(3 x^{2} + 4\right)}{5 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{10 x + \left(3 x^{2} + 4\right)}{5 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = \frac{17}{8}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{10 x + \left(3 x^{2} + 4\right)}{5 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = \frac{17}{8}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{10 x + \left(3 x^{2} + 4\right)}{5 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 3$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico