Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(- 2 \cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{- 2 \tan{\left(x \right)} + \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}}{\cos{\left(4 x \right)} + 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{- 2 \cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + 1}{\left(\cos{\left(4 x \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 \cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(\cos^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{- 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(4 x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{- 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(4 x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)