Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(6 n^{4} + 2 n^{3} + n^{2} - 5 n + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(2 n^{3}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\left(3 n + 1\right) + \frac{- 5 n + \left(n^{2} + 1\right)}{2 n^{3}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n^{3} \left(3 n + 1\right) + n^{2} - 5 n + 1}{2 n^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(6 n^{4} + 2 n^{3} + n^{2} - 5 n + 1\right)}{\frac{d}{d n} 2 n^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{24 n^{3} + 6 n^{2} + 2 n - 5}{6 n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(24 n^{3} + 6 n^{2} + 2 n - 5\right)}{\frac{d}{d n} 6 n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{72 n^{2} + 12 n + 2}{12 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(72 n^{2} + 12 n + 2\right)}{\frac{d}{d n} 12 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(12 n + 1\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(12 n + 1\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)