Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 8*x/(-4+x)
- Límite de (e^(a*x)-cos(a*x))/(e^(b*x)-cos(b*x))
-
Límite de (2+x)*(6-x)/x^2
-
Límite de (6+5*x^2+13*x)/(-8+2*x+3*x^2)
-
Expresiones idénticas
- (uno + siete *x^ tres + nueve *x+ quince *x^ dos)/(cuatro - tres *x+ cinco *x^ cuatro + seis *x^ dos)
- (1 más 7 multiplicar por x al cubo más 9 multiplicar por x más 15 multiplicar por x al cuadrado ) dividir por (4 menos 3 multiplicar por x más 5 multiplicar por x en el grado 4 más 6 multiplicar por x al cuadrado )
- (uno más siete multiplicar por x en el grado tres más nueve multiplicar por x más quince multiplicar por x en el grado dos) dividir por (cuatro menos tres multiplicar por x más cinco multiplicar por x en el grado cuatro más seis multiplicar por x en el grado dos)
- (1+7*x3+9*x+15*x2)/(4-3*x+5*x4+6*x2)
- 1+7*x3+9*x+15*x2/4-3*x+5*x4+6*x2
- (1+7*x³+9*x+15*x²)/(4-3*x+5*x⁴+6*x²)
- (1+7*x en el grado 3+9*x+15*x en el grado 2)/(4-3*x+5*x en el grado 4+6*x en el grado 2)
- (1+7x^3+9x+15x^2)/(4-3x+5x^4+6x^2)
- (1+7x3+9x+15x2)/(4-3x+5x4+6x2)
- 1+7x3+9x+15x2/4-3x+5x4+6x2
- 1+7x^3+9x+15x^2/4-3x+5x^4+6x^2
- (1+7*x^3+9*x+15*x^2) dividir por (4-3*x+5*x^4+6*x^2)
-
Expresiones semejantes
- (1-7*x^3+9*x+15*x^2)/(4-3*x+5*x^4+6*x^2)
- (1+7*x^3+9*x+15*x^2)/(4-3*x-5*x^4+6*x^2)
- (1+7*x^3+9*x+15*x^2)/(4+3*x+5*x^4+6*x^2)
- (1+7*x^3+9*x-15*x^2)/(4-3*x+5*x^4+6*x^2)
- (1+7*x^3+9*x+15*x^2)/(4-3*x+5*x^4-6*x^2)
- (1+7*x^3-9*x+15*x^2)/(4-3*x+5*x^4+6*x^2)
Límite de la función (1+7*x^3+9*x+15*x^2)/(4-3*x+5*x^4+6*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3 2\
|1 + 7*x + 9*x + 15*x |
lim |----------------------|
x->oo| 4 2 |
\4 - 3*x + 5*x + 6*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{15 x^{2} + \left(9 x + \left(7 x^{3} + 1\right)\right)}{6 x^{2} + \left(5 x^{4} + \left(4 - 3 x\right)\right)}\right)$$
Limit((1 + 7*x^3 + 9*x + 15*x^2)/(4 - 3*x + 5*x^4 + 6*x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{15 x^{2} + \left(9 x + \left(7 x^{3} + 1\right)\right)}{6 x^{2} + \left(5 x^{4} + \left(4 - 3 x\right)\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{15 x^{2} + \left(9 x + \left(7 x^{3} + 1\right)\right)}{6 x^{2} + \left(5 x^{4} + \left(4 - 3 x\right)\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{7}{x} + \frac{15}{x^{2}} + \frac{9}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}}{5 + \frac{6}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}} + \frac{4}{x^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{7}{x} + \frac{15}{x^{2}} + \frac{9}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}}{5 + \frac{6}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}} + \frac{4}{x^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{4} + 9 u^{3} + 15 u^{2} + 7 u}{4 u^{4} - 3 u^{3} + 6 u^{2} + 5}\right)$$
=
$$\frac{0^{4} + 0 \cdot 7 + 9 \cdot 0^{3} + 15 \cdot 0^{2}}{- 3 \cdot 0^{3} + 4 \cdot 0^{4} + 6 \cdot 0^{2} + 5} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{15 x^{2} + \left(9 x + \left(7 x^{3} + 1\right)\right)}{6 x^{2} + \left(5 x^{4} + \left(4 - 3 x\right)\right)}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{15 x^{2} + \left(9 x + \left(7 x^{3} + 1\right)\right)}{6 x^{2} + \left(5 x^{4} + \left(4 - 3 x\right)\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{15 x^{2} + \left(9 x + \left(7 x^{3} + 1\right)\right)}{6 x^{2} + \left(5 x^{4} + \left(4 - 3 x\right)\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{7}{x} + \frac{15}{x^{2}} + \frac{9}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}}{5 + \frac{6}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}} + \frac{4}{x^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{7}{x} + \frac{15}{x^{2}} + \frac{9}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}}{5 + \frac{6}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}} + \frac{4}{x^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{4} + 9 u^{3} + 15 u^{2} + 7 u}{4 u^{4} - 3 u^{3} + 6 u^{2} + 5}\right)$$
=
$$\frac{0^{4} + 0 \cdot 7 + 9 \cdot 0^{3} + 15 \cdot 0^{2}}{- 3 \cdot 0^{3} + 4 \cdot 0^{4} + 6 \cdot 0^{2} + 5} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{15 x^{2} + \left(9 x + \left(7 x^{3} + 1\right)\right)}{6 x^{2} + \left(5 x^{4} + \left(4 - 3 x\right)\right)}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(7 x^{3} + 15 x^{2} + 9 x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 x^{4} + 6 x^{2} - 3 x + 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{15 x^{2} + \left(9 x + \left(7 x^{3} + 1\right)\right)}{6 x^{2} + \left(5 x^{4} + \left(4 - 3 x\right)\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{7 x^{3} + 15 x^{2} + 9 x + 1}{5 x^{4} + 6 x^{2} - 3 x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(7 x^{3} + 15 x^{2} + 9 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(5 x^{4} + 6 x^{2} - 3 x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{21 x^{2} + 30 x + 9}{20 x^{3} + 12 x - 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(21 x^{2} + 30 x + 9\right)}{\frac{d}{d x} \left(20 x^{3} + 12 x - 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{42 x + 30}{60 x^{2} + 12}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(42 x + 30\right)}{\frac{d}{d x} \left(60 x^{2} + 12\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{7}{20 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{7}{20 x}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(7 x^{3} + 15 x^{2} + 9 x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 x^{4} + 6 x^{2} - 3 x + 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{15 x^{2} + \left(9 x + \left(7 x^{3} + 1\right)\right)}{6 x^{2} + \left(5 x^{4} + \left(4 - 3 x\right)\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{7 x^{3} + 15 x^{2} + 9 x + 1}{5 x^{4} + 6 x^{2} - 3 x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(7 x^{3} + 15 x^{2} + 9 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(5 x^{4} + 6 x^{2} - 3 x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{21 x^{2} + 30 x + 9}{20 x^{3} + 12 x - 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(21 x^{2} + 30 x + 9\right)}{\frac{d}{d x} \left(20 x^{3} + 12 x - 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{42 x + 30}{60 x^{2} + 12}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(42 x + 30\right)}{\frac{d}{d x} \left(60 x^{2} + 12\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{7}{20 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{7}{20 x}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{15 x^{2} + \left(9 x + \left(7 x^{3} + 1\right)\right)}{6 x^{2} + \left(5 x^{4} + \left(4 - 3 x\right)\right)}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{15 x^{2} + \left(9 x + \left(7 x^{3} + 1\right)\right)}{6 x^{2} + \left(5 x^{4} + \left(4 - 3 x\right)\right)}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{15 x^{2} + \left(9 x + \left(7 x^{3} + 1\right)\right)}{6 x^{2} + \left(5 x^{4} + \left(4 - 3 x\right)\right)}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{15 x^{2} + \left(9 x + \left(7 x^{3} + 1\right)\right)}{6 x^{2} + \left(5 x^{4} + \left(4 - 3 x\right)\right)}\right) = \frac{8}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{15 x^{2} + \left(9 x + \left(7 x^{3} + 1\right)\right)}{6 x^{2} + \left(5 x^{4} + \left(4 - 3 x\right)\right)}\right) = \frac{8}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{15 x^{2} + \left(9 x + \left(7 x^{3} + 1\right)\right)}{6 x^{2} + \left(5 x^{4} + \left(4 - 3 x\right)\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{15 x^{2} + \left(9 x + \left(7 x^{3} + 1\right)\right)}{6 x^{2} + \left(5 x^{4} + \left(4 - 3 x\right)\right)}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{15 x^{2} + \left(9 x + \left(7 x^{3} + 1\right)\right)}{6 x^{2} + \left(5 x^{4} + \left(4 - 3 x\right)\right)}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{15 x^{2} + \left(9 x + \left(7 x^{3} + 1\right)\right)}{6 x^{2} + \left(5 x^{4} + \left(4 - 3 x\right)\right)}\right) = \frac{8}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{15 x^{2} + \left(9 x + \left(7 x^{3} + 1\right)\right)}{6 x^{2} + \left(5 x^{4} + \left(4 - 3 x\right)\right)}\right) = \frac{8}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{15 x^{2} + \left(9 x + \left(7 x^{3} + 1\right)\right)}{6 x^{2} + \left(5 x^{4} + \left(4 - 3 x\right)\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo