Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (4+x^3+5*x^2+8*x)/(-4+x^3+3*x^2)
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
-
Límite de (1+3/x)^(2*x)
-
Expresiones idénticas
- ((- dos +x)/(cuatro +x))^(- uno +x)
- (( menos 2 más x) dividir por (4 más x)) en el grado ( menos 1 más x)
- (( menos dos más x) dividir por (cuatro más x)) en el grado ( menos uno más x)
- ((-2+x)/(4+x))(-1+x)
- -2+x/4+x-1+x
- -2+x/4+x^-1+x
- ((-2+x) dividir por (4+x))^(-1+x)
-
Expresiones semejantes
- ((-2+x)/(4+x))^(1+x)
- ((-2+x)/(4+x))^(-1-x)
- ((-2-x)/(4+x))^(-1+x)
- ((-2+x)/(4-x))^(-1+x)
- ((2+x)/(4+x))^(-1+x)
Límite de la función ((-2+x)/(4+x))^(-1+x)
Solución
Ha introducido
[src]
-1 + x
/-2 + x\
lim |------|
x->oo\4 + x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 4}\right)^{x - 1}$$
Limit(((-2 + x)/(4 + x))^(-1 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 4}\right)^{x - 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 4}\right)^{x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 4\right) - 6}{x + 4}\right)^{x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{6}{x + 4} + \frac{x + 4}{x + 4}\right)^{x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{x + 4}\right)^{x - 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 4}{-6}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{x + 4}\right)^{x - 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u - 5}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6} = e^{-6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 4}\right)^{x - 1} = e^{-6}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 4}\right)^{x - 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 4}\right)^{x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 4\right) - 6}{x + 4}\right)^{x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{6}{x + 4} + \frac{x + 4}{x + 4}\right)^{x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{x + 4}\right)^{x - 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 4}{-6}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{x + 4}\right)^{x - 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u - 5}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6} = e^{-6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 4}\right)^{x - 1} = e^{-6}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 4}\right)^{x - 1} = e^{-6}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x - 2}{x + 4}\right)^{x - 1} = -2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 2}{x + 4}\right)^{x - 1} = -2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x - 2}{x + 4}\right)^{x - 1} = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x - 2}{x + 4}\right)^{x - 1} = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 2}{x + 4}\right)^{x - 1} = e^{-6}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x - 2}{x + 4}\right)^{x - 1} = -2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 2}{x + 4}\right)^{x - 1} = -2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x - 2}{x + 4}\right)^{x - 1} = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x - 2}{x + 4}\right)^{x - 1} = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 2}{x + 4}\right)^{x - 1} = e^{-6}$$
Más detalles con x→-oo