Tenemos la indeterminación de tipo
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(3 n^{4} - 2 n - 2\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(- 3 n^{2} + 5 n + 3\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{4} + \left(- 2 n - 2\right)}{5 n + \left(3 - 3 n^{2}\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{4} - 2 n - 2}{- 3 n^{2} + 5 n + 3}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(3 n^{4} - 2 n - 2\right)}{\frac{d}{d n} \left(- 3 n^{2} + 5 n + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{12 n^{3} - 2}{5 - 6 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{12 n^{3} - 2}{5 - 6 n}\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)