Sr Examen
Límite de la función (-2-2*n+3*n^4)/(3-3*n^2+5*n)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 4\
|-2 - 2*n + 3*n |
lim |---------------|
n->oo| 2 |
\ 3 - 3*n + 5*n/
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{4} + \left(- 2 n - 2\right)}{5 n + \left(3 - 3 n^{2}\right)}\right)$$
Limit((-2 - 2*n + 3*n^4)/(3 - 3*n^2 + 5*n), n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{4} + \left(- 2 n - 2\right)}{5 n + \left(3 - 3 n^{2}\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^4:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{4} + \left(- 2 n - 2\right)}{5 n + \left(3 - 3 n^{2}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 - \frac{2}{n^{3}} - \frac{2}{n^{4}}}{- \frac{3}{n^{2}} + \frac{5}{n^{3}} + \frac{3}{n^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 - \frac{2}{n^{3}} - \frac{2}{n^{4}}}{- \frac{3}{n^{2}} + \frac{5}{n^{3}} + \frac{3}{n^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 2 u^{4} - 2 u^{3} + 3}{3 u^{4} + 5 u^{3} - 3 u^{2}}\right)$$
=
$$\frac{- 2 \cdot 0^{3} - 2 \cdot 0^{4} + 3}{- 3 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0^{4} + 5 \cdot 0^{3}} = -\infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{4} + \left(- 2 n - 2\right)}{5 n + \left(3 - 3 n^{2}\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{4} + \left(- 2 n - 2\right)}{5 n + \left(3 - 3 n^{2}\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^4:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{4} + \left(- 2 n - 2\right)}{5 n + \left(3 - 3 n^{2}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 - \frac{2}{n^{3}} - \frac{2}{n^{4}}}{- \frac{3}{n^{2}} + \frac{5}{n^{3}} + \frac{3}{n^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 - \frac{2}{n^{3}} - \frac{2}{n^{4}}}{- \frac{3}{n^{2}} + \frac{5}{n^{3}} + \frac{3}{n^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 2 u^{4} - 2 u^{3} + 3}{3 u^{4} + 5 u^{3} - 3 u^{2}}\right)$$
=
$$\frac{- 2 \cdot 0^{3} - 2 \cdot 0^{4} + 3}{- 3 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0^{4} + 5 \cdot 0^{3}} = -\infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{4} + \left(- 2 n - 2\right)}{5 n + \left(3 - 3 n^{2}\right)}\right) = -\infty$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(3 n^{4} - 2 n - 2\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(- 3 n^{2} + 5 n + 3\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{4} + \left(- 2 n - 2\right)}{5 n + \left(3 - 3 n^{2}\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{4} - 2 n - 2}{- 3 n^{2} + 5 n + 3}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(3 n^{4} - 2 n - 2\right)}{\frac{d}{d n} \left(- 3 n^{2} + 5 n + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{12 n^{3} - 2}{5 - 6 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{12 n^{3} - 2}{5 - 6 n}\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(3 n^{4} - 2 n - 2\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(- 3 n^{2} + 5 n + 3\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{4} + \left(- 2 n - 2\right)}{5 n + \left(3 - 3 n^{2}\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{4} - 2 n - 2}{- 3 n^{2} + 5 n + 3}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(3 n^{4} - 2 n - 2\right)}{\frac{d}{d n} \left(- 3 n^{2} + 5 n + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{12 n^{3} - 2}{5 - 6 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{12 n^{3} - 2}{5 - 6 n}\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{4} + \left(- 2 n - 2\right)}{5 n + \left(3 - 3 n^{2}\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{3 n^{4} + \left(- 2 n - 2\right)}{5 n + \left(3 - 3 n^{2}\right)}\right) = - \frac{2}{3}$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{3 n^{4} + \left(- 2 n - 2\right)}{5 n + \left(3 - 3 n^{2}\right)}\right) = - \frac{2}{3}$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{3 n^{4} + \left(- 2 n - 2\right)}{5 n + \left(3 - 3 n^{2}\right)}\right) = - \frac{1}{5}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{3 n^{4} + \left(- 2 n - 2\right)}{5 n + \left(3 - 3 n^{2}\right)}\right) = - \frac{1}{5}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{3 n^{4} + \left(- 2 n - 2\right)}{5 n + \left(3 - 3 n^{2}\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{3 n^{4} + \left(- 2 n - 2\right)}{5 n + \left(3 - 3 n^{2}\right)}\right) = - \frac{2}{3}$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{3 n^{4} + \left(- 2 n - 2\right)}{5 n + \left(3 - 3 n^{2}\right)}\right) = - \frac{2}{3}$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{3 n^{4} + \left(- 2 n - 2\right)}{5 n + \left(3 - 3 n^{2}\right)}\right) = - \frac{1}{5}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{3 n^{4} + \left(- 2 n - 2\right)}{5 n + \left(3 - 3 n^{2}\right)}\right) = - \frac{1}{5}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{3 n^{4} + \left(- 2 n - 2\right)}{5 n + \left(3 - 3 n^{2}\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→-oo