Límite de la función 3^(1+n)*8^(-1-n)*(7+2*n)

Tenemos la indeterminación de tipo

oo/oo,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(3^{n + 1} \left(2 n + 7\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} 8^{n + 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(3^{n + 1} \cdot 8^{- n - 1} \left(2 n + 7\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(3^{n + 1} \cdot 8^{- n - 1} \left(2 n + 7\right)\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 3^{n + 1} \left(2 n + 7\right)}{\frac{d}{d n} 8^{n + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{8^{- n} \left(6 \cdot 3^{n} n \log{\left(3 \right)} + 6 \cdot 3^{n} + 21 \cdot 3^{n} \log{\left(3 \right)}\right)}{24 \log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{8^{- n} \left(6 \cdot 3^{n} n \log{\left(3 \right)} + 6 \cdot 3^{n} + 21 \cdot 3^{n} \log{\left(3 \right)}\right)}{24 \log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)