Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x^2))/(-4+sqrt(16+x^2))
-
Expresiones idénticas
- ((- uno +x)/(tres +x))^(- dos +x)
- (( menos 1 más x) dividir por (3 más x)) en el grado ( menos 2 más x)
- (( menos uno más x) dividir por (tres más x)) en el grado ( menos dos más x)
- ((-1+x)/(3+x))(-2+x)
- -1+x/3+x-2+x
- -1+x/3+x^-2+x
- ((-1+x) dividir por (3+x))^(-2+x)
-
Expresiones semejantes
- ((1+x)/(3+x))^(-2+x)
- ((-1+x)/(3+x))^(-2-x)
- ((-1+x)/(3-x))^(-2+x)
- ((-1+x)/(3+x))^(2+x)
- ((-1-x)/(3+x))^(-2+x)
Límite de la función ((-1+x)/(3+x))^(-2+x)
Solución
Ha introducido
[src]
-2 + x
/-1 + x\
lim |------|
x->oo\3 + x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x + 3}\right)^{x - 2}$$
Limit(((-1 + x)/(3 + x))^(-2 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x + 3}\right)^{x - 2}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x + 3}\right)^{x - 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 3\right) - 4}{x + 3}\right)^{x - 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{4}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3}\right)^{x - 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{x + 3}\right)^{x - 2}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{x + 3}\right)^{x - 2}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u - 5}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-4}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-4} = e^{-4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x + 3}\right)^{x - 2} = e^{-4}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x + 3}\right)^{x - 2}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x + 3}\right)^{x - 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 3\right) - 4}{x + 3}\right)^{x - 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{4}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3}\right)^{x - 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{x + 3}\right)^{x - 2}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{x + 3}\right)^{x - 2}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u - 5}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-4}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-4} = e^{-4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x + 3}\right)^{x - 2} = e^{-4}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x + 3}\right)^{x - 2} = e^{-4}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x - 1}{x + 3}\right)^{x - 2} = 9$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 1}{x + 3}\right)^{x - 2} = 9$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x - 1}{x + 3}\right)^{x - 2} = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x - 1}{x + 3}\right)^{x - 2} = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 1}{x + 3}\right)^{x - 2} = e^{-4}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x - 1}{x + 3}\right)^{x - 2} = 9$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 1}{x + 3}\right)^{x - 2} = 9$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x - 1}{x + 3}\right)^{x - 2} = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x - 1}{x + 3}\right)^{x - 2} = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 1}{x + 3}\right)^{x - 2} = e^{-4}$$
Más detalles con x→-oo