Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{3} \left(n^{2} + 1\right)}{n^{3}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\left(n + 1\right)^{2} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{3} \left(n^{2} + 1\right)}{n^{3} \left(\left(n + 1\right)^{2} + 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{3} \left(n^{2} + 1\right)}{n^{3} \left(\left(n + 1\right)^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{\left(n + 1\right)^{3} \left(n^{2} + 1\right)}{n^{3}}}{\frac{d}{d n} \left(\left(n + 1\right)^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + 3 - \frac{4}{n^{2}} - \frac{6}{n^{3}} - \frac{3}{n^{4}}}{2 n + 2}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + 3 - \frac{4}{n^{2}} - \frac{6}{n^{3}} - \frac{3}{n^{4}}}{2 n + 2}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)