Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- 4 x e^{2 x} + e^{4 x} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{3} e^{2 x}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 4 x + \left(e^{2 x} - e^{- 2 x}\right)}{x^{3}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- 4 x e^{2 x} + e^{4 x} - 1\right) e^{- 2 x}}{x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 4 x e^{2 x} + e^{4 x} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{3} e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 8 x e^{2 x} + 4 e^{4 x} - 4 e^{2 x}}{2 x^{3} e^{2 x} + 3 x^{2} e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 8 x e^{2 x} + 4 e^{4 x} - 4 e^{2 x}}{2 x^{3} e^{2 x} + 3 x^{2} e^{2 x}}\right)$$
=
$$\frac{8}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)