Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- ((cinco + dos *x)/(tres + dos *x))^(uno +x)
- ((5 más 2 multiplicar por x) dividir por (3 más 2 multiplicar por x)) en el grado (1 más x)
- ((cinco más dos multiplicar por x) dividir por (tres más dos multiplicar por x)) en el grado (uno más x)
- ((5+2*x)/(3+2*x))(1+x)
- 5+2*x/3+2*x1+x
- ((5+2x)/(3+2x))^(1+x)
- ((5+2x)/(3+2x))(1+x)
- 5+2x/3+2x1+x
- 5+2x/3+2x^1+x
- ((5+2*x) dividir por (3+2*x))^(1+x)
-
Expresiones semejantes
- ((5+2*x)/(3-2*x))^(1+x)
- ((5-2*x)/(3+2*x))^(1+x)
- ((5+2*x)/(3+2*x))^(1-x)
Límite de la función ((5+2*x)/(3+2*x))^(1+x)
Solución
Ha introducido
[src]
1 + x
/5 + 2*x\
lim |-------|
x->oo\3 + 2*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{x + 1}$$
Limit(((5 + 2*x)/(3 + 2*x))^(1 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{x + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x + 3\right) + 2}{2 x + 3}\right)^{x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 3} + \frac{2}{2 x + 3}\right)^{x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{2 x + 3}\right)^{x + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x + 3}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{2 x + 3}\right)^{x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u - \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}}{\sqrt{1 + \frac{1}{u}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{u}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right) = e$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{x + 1} = e$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{x + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x + 3\right) + 2}{2 x + 3}\right)^{x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 3} + \frac{2}{2 x + 3}\right)^{x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{2 x + 3}\right)^{x + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x + 3}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{2 x + 3}\right)^{x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u - \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}}{\sqrt{1 + \frac{1}{u}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{u}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right) = e$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{x + 1} = e$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{x + 1} = e$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{x + 1} = \frac{5}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{x + 1} = \frac{5}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{x + 1} = \frac{49}{25}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{x + 1} = \frac{49}{25}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{x + 1} = e$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{x + 1} = \frac{5}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{x + 1} = \frac{5}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{x + 1} = \frac{49}{25}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{x + 1} = \frac{49}{25}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x + 5}{2 x + 3}\right)^{x + 1} = e$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico