Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{4} + 4 n^{3} + 6 n^{2} + 4 n + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{4} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{4}}{n^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n^{4} + 4 n^{3} + 6 n^{2} + 4 n + 1\right)}{\frac{d}{d n} n^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4 n^{3} + 12 n^{2} + 12 n + 4}{4 n^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(4 n^{3} + 12 n^{2} + 12 n + 4\right)}{\frac{d}{d n} 4 n^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{12 n^{2} + 24 n + 12}{12 n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(12 n^{2} + 24 n + 12\right)}{\frac{d}{d n} 12 n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{24 n + 24}{24 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(24 n + 24\right)}{\frac{d}{d n} 24 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)