Sr Examen

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(1+n)^5/n^5
Límite de la función/ (1+n)^5/n^5

Límite de la función (1+n)^5/n^5

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /       5\
     |(1 + n) |
 lim |--------|
n->oo|    5   |
     \   n    /
lim⁡n→∞((n+1)5n5)\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right) 
Limit((1 + n)^5/n^5, n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
lim⁡n→∞((n+1)5n5)\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right)
Dividimos el numerador y el denominador por n^5:
lim⁡n→∞((n+1)5n5)\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right) =
lim⁡n→∞(1+5n+10n2+10n3+5n4+1n51)\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{n} + \frac{10}{n^{2}} + \frac{10}{n^{3}} + \frac{5}{n^{4}} + \frac{1}{n^{5}}}{1}\right)
Hacemos El Cambio
u=1nu = \frac{1}{n}
entonces
lim⁡n→∞(1+5n+10n2+10n3+5n4+1n51)=lim⁡u→0+(u5+5u4+10u3+10u2+5u+1)\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{n} + \frac{10}{n^{2}} + \frac{10}{n^{3}} + \frac{5}{n^{4}} + \frac{1}{n^{5}}}{1}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(u^{5} + 5 u^{4} + 10 u^{3} + 10 u^{2} + 5 u + 1\right)
=
05+0⋅5+5⋅04+10⋅02+10⋅03+1=10^{5} + 0 \cdot 5 + 5 \cdot 0^{4} + 10 \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0^{3} + 1 = 1

Entonces la respuesta definitiva es:
lim⁡n→∞((n+1)5n5)=1\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right) = 1
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡n→∞(n5+5n4+10n3+10n2+5n+1)=∞\lim_{n \to \infty}\left(n^{5} + 5 n^{4} + 10 n^{3} + 10 n^{2} + 5 n + 1\right) = \infty
y el límite para el denominador es
lim⁡n→∞n5=∞\lim_{n \to \infty} n^{5} = \infty
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡n→∞((n+1)5n5)\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right)
=
lim⁡n→∞(ddn(n5+5n4+10n3+10n2+5n+1)ddnn5)\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n^{5} + 5 n^{4} + 10 n^{3} + 10 n^{2} + 5 n + 1\right)}{\frac{d}{d n} n^{5}}\right)
=
lim⁡n→∞(5n4+20n3+30n2+20n+55n4)\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5 n^{4} + 20 n^{3} + 30 n^{2} + 20 n + 5}{5 n^{4}}\right)
=
lim⁡n→∞(ddn(5n4+20n3+30n2+20n+5)ddn5n4)\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(5 n^{4} + 20 n^{3} + 30 n^{2} + 20 n + 5\right)}{\frac{d}{d n} 5 n^{4}}\right)
=
lim⁡n→∞(20n3+60n2+60n+2020n3)\lim_{n \to \infty}\left(\frac{20 n^{3} + 60 n^{2} + 60 n + 20}{20 n^{3}}\right)
=
lim⁡n→∞(ddn(20n3+60n2+60n+20)ddn20n3)\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(20 n^{3} + 60 n^{2} + 60 n + 20\right)}{\frac{d}{d n} 20 n^{3}}\right)
=
lim⁡n→∞(60n2+120n+6060n2)\lim_{n \to \infty}\left(\frac{60 n^{2} + 120 n + 60}{60 n^{2}}\right)
=
lim⁡n→∞(ddn(60n2+120n+60)ddn60n2)\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(60 n^{2} + 120 n + 60\right)}{\frac{d}{d n} 60 n^{2}}\right)
=
lim⁡n→∞(120n+120120n)\lim_{n \to \infty}\left(\frac{120 n + 120}{120 n}\right)
=
lim⁡n→∞(ddn(120n+120)ddn120n)\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(120 n + 120\right)}{\frac{d}{d n} 120 n}\right)
=
lim⁡n→∞1\lim_{n \to \infty} 1
=
lim⁡n→∞1\lim_{n \to \infty} 1
=
11
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 5 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-250000250000
Trazar el gráfico
Respuesta rápida [src] 
1
11
Abrir y simplificar
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
lim⁡n→∞((n+1)5n5)=1\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right) = 1
lim⁡n→0−((n+1)5n5)=−∞\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right) = -\infty
Más detalles con n→0 a la izquierda
lim⁡n→0+((n+1)5n5)=∞\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right) = \infty
Más detalles con n→0 a la derecha
lim⁡n→1−((n+1)5n5)=32\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right) = 32
Más detalles con n→1 a la izquierda
lim⁡n→1+((n+1)5n5)=32\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right) = 32
Más detalles con n→1 a la derecha
lim⁡n→−∞((n+1)5n5)=1\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right) = 1
Más detalles con n→-oo
Gráfico
Límite de la función (1+n)^5/n^5
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