Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+x^3+5*x^2+7*x)/(2+x^3+4*x^2+5*x)
-
Límite de ((5-x)/(6-x))^(2+x)
-
Límite de (3-sqrt(x))/(4-sqrt(-2+2*x))
- Límite de (2+x^3+4*x^2+5*x)/(-2+x^3-3*x)
-
Expresiones idénticas
- (uno +n)^ cinco /n^ cinco
- (1 más n) en el grado 5 dividir por n en el grado 5
- (uno más n) en el grado cinco dividir por n en el grado cinco
- (1+n)5/n5
- 1+n5/n5
- (1+n)⁵/n⁵
- 1+n^5/n^5
- (1+n)^5 dividir por n^5
-
Expresiones semejantes
- (1-n)^5/n^5
Límite de la función (1+n)^5/n^5
Solución
Ha introducido
[src]
/ 5\
|(1 + n) |
lim |--------|
n->oo| 5 |
\ n /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right)$$
Limit((1 + n)^5/n^5, n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^5:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{n} + \frac{10}{n^{2}} + \frac{10}{n^{3}} + \frac{5}{n^{4}} + \frac{1}{n^{5}}}{1}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{n} + \frac{10}{n^{2}} + \frac{10}{n^{3}} + \frac{5}{n^{4}} + \frac{1}{n^{5}}}{1}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(u^{5} + 5 u^{4} + 10 u^{3} + 10 u^{2} + 5 u + 1\right)$$
=
$$0^{5} + 0 \cdot 5 + 5 \cdot 0^{4} + 10 \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0^{3} + 1 = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^5:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{n} + \frac{10}{n^{2}} + \frac{10}{n^{3}} + \frac{5}{n^{4}} + \frac{1}{n^{5}}}{1}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{n} + \frac{10}{n^{2}} + \frac{10}{n^{3}} + \frac{5}{n^{4}} + \frac{1}{n^{5}}}{1}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(u^{5} + 5 u^{4} + 10 u^{3} + 10 u^{2} + 5 u + 1\right)$$
=
$$0^{5} + 0 \cdot 5 + 5 \cdot 0^{4} + 10 \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0^{3} + 1 = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{5} + 5 n^{4} + 10 n^{3} + 10 n^{2} + 5 n + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{5} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n^{5} + 5 n^{4} + 10 n^{3} + 10 n^{2} + 5 n + 1\right)}{\frac{d}{d n} n^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5 n^{4} + 20 n^{3} + 30 n^{2} + 20 n + 5}{5 n^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(5 n^{4} + 20 n^{3} + 30 n^{2} + 20 n + 5\right)}{\frac{d}{d n} 5 n^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{20 n^{3} + 60 n^{2} + 60 n + 20}{20 n^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(20 n^{3} + 60 n^{2} + 60 n + 20\right)}{\frac{d}{d n} 20 n^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{60 n^{2} + 120 n + 60}{60 n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(60 n^{2} + 120 n + 60\right)}{\frac{d}{d n} 60 n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{120 n + 120}{120 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(120 n + 120\right)}{\frac{d}{d n} 120 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 5 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{5} + 5 n^{4} + 10 n^{3} + 10 n^{2} + 5 n + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{5} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n^{5} + 5 n^{4} + 10 n^{3} + 10 n^{2} + 5 n + 1\right)}{\frac{d}{d n} n^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5 n^{4} + 20 n^{3} + 30 n^{2} + 20 n + 5}{5 n^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(5 n^{4} + 20 n^{3} + 30 n^{2} + 20 n + 5\right)}{\frac{d}{d n} 5 n^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{20 n^{3} + 60 n^{2} + 60 n + 20}{20 n^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(20 n^{3} + 60 n^{2} + 60 n + 20\right)}{\frac{d}{d n} 20 n^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{60 n^{2} + 120 n + 60}{60 n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(60 n^{2} + 120 n + 60\right)}{\frac{d}{d n} 60 n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{120 n + 120}{120 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(120 n + 120\right)}{\frac{d}{d n} 120 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 5 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right) = 32$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right) = 32$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right) = 32$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right) = 32$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{5}}{n^{5}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
Gráfico