Sr Examen

Otras calculadoras:

(e^x-e^(-x))/(cos(x)*sin(x))
Límite de la función/ (e^x-e^(-x))/(cos(x)*sin(x))

Límite de la función (e^x-e^(-x))/(cos(x)*sin(x))

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /    x    -x  \
     |   E  - E    |
 lim |-------------|
x->0+\cos(x)*sin(x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right)$$ 
Limit((E^x - E^(-x))/((cos(x)*sin(x))), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{2 x} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{2 x} - 1\right) e^{- x}}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{2 x} - 1\right)}{\frac{d}{d x} e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 e^{2 x}}{- e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)} + e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{- e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)} + e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{- e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)} + e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Trazar el gráfico
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /    x    -x  \
     |   E  - E    |
 lim |-------------|
x->0+\cos(x)*sin(x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right)$$ 
2
$$2$$ 
= 2.0
     /    x    -x  \
     |   E  - E    |
 lim |-------------|
x->0-\cos(x)*sin(x)/
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right)$$ 
2
$$2$$ 
= 2.0
= 2.0
Respuesta rápida [src] 
2
$$2$$
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right) = \frac{-1 + e^{2}}{e \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right) = \frac{-1 + e^{2}}{e \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
2.0
2.0
Gráfico
Límite de la función (e^x-e^(-x))/(cos(x)*sin(x))
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