Sr Examen

Otras calculadoras:


((-5+6*x)/(-1+6*x))^(2*x)

Límite de la función ((-5+6*x)/(-1+6*x))^(2*x)

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
               2*x
     /-5 + 6*x\   
 lim |--------|   
x->oo\-1 + 6*x/   
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x - 5}{6 x - 1}\right)^{2 x}$$
Limit(((-5 + 6*x)/(-1 + 6*x))^(2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x - 5}{6 x - 1}\right)^{2 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x - 5}{6 x - 1}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(6 x - 1\right) - 4}{6 x - 1}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{4}{6 x - 1} + \frac{6 x - 1}{6 x - 1}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{6 x - 1}\right)^{2 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{6 x - 1}{-4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{6 x - 1}\right)^{2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{1}{3} - \frac{4 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\sqrt[3]{1 + \frac{1}{u}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \sqrt[3]{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{4}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{4}{3}} = e^{- \frac{4}{3}}$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x - 5}{6 x - 1}\right)^{2 x} = e^{- \frac{4}{3}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Respuesta rápida [src]
 -4/3
e    
$$e^{- \frac{4}{3}}$$
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x - 5}{6 x - 1}\right)^{2 x} = e^{- \frac{4}{3}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{6 x - 5}{6 x - 1}\right)^{2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{6 x - 5}{6 x - 1}\right)^{2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{6 x - 5}{6 x - 1}\right)^{2 x} = \frac{1}{25}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{6 x - 5}{6 x - 1}\right)^{2 x} = \frac{1}{25}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{6 x - 5}{6 x - 1}\right)^{2 x} = e^{- \frac{4}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico
Límite de la función ((-5+6*x)/(-1+6*x))^(2*x)