Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- ((cuatro - tres *x)/(cinco - tres *x))^(cuatro +x)
- ((4 menos 3 multiplicar por x) dividir por (5 menos 3 multiplicar por x)) en el grado (4 más x)
- ((cuatro menos tres multiplicar por x) dividir por (cinco menos tres multiplicar por x)) en el grado (cuatro más x)
- ((4-3*x)/(5-3*x))(4+x)
- 4-3*x/5-3*x4+x
- ((4-3x)/(5-3x))^(4+x)
- ((4-3x)/(5-3x))(4+x)
- 4-3x/5-3x4+x
- 4-3x/5-3x^4+x
- ((4-3*x) dividir por (5-3*x))^(4+x)
-
Expresiones semejantes
- ((4-3*x)/(5+3*x))^(4+x)
- ((4-3*x)/(5-3*x))^(4-x)
- ((4+3*x)/(5-3*x))^(4+x)
Límite de la función ((4-3*x)/(5-3*x))^(4+x)
Solución
Ha introducido
[src]
4 + x
/4 - 3*x\
lim |-------|
x->oo\5 - 3*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 - 3 x}{5 - 3 x}\right)^{x + 4}$$
Limit(((4 - 3*x)/(5 - 3*x))^(4 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 - 3 x}{5 - 3 x}\right)^{x + 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 - 3 x}{5 - 3 x}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 - 3 x\right) - 1}{5 - 3 x}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{5 - 3 x} + \frac{5 - 3 x}{5 - 3 x}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{5 - 3 x}\right)^{x + 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 - 3 x}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{5 - 3 x}\right)^{x + 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{3} + \frac{17}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{17}{3}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{17}{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{3}}$$
=
$$\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)} = e^{\frac{1}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 - 3 x}{5 - 3 x}\right)^{x + 4} = e^{\frac{1}{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 - 3 x}{5 - 3 x}\right)^{x + 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 - 3 x}{5 - 3 x}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 - 3 x\right) - 1}{5 - 3 x}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{5 - 3 x} + \frac{5 - 3 x}{5 - 3 x}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{5 - 3 x}\right)^{x + 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 - 3 x}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{5 - 3 x}\right)^{x + 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{3} + \frac{17}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{17}{3}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{17}{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{3}}$$
=
$$\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)} = e^{\frac{1}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 - 3 x}{5 - 3 x}\right)^{x + 4} = e^{\frac{1}{3}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 - 3 x}{5 - 3 x}\right)^{x + 4} = e^{\frac{1}{3}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{4 - 3 x}{5 - 3 x}\right)^{x + 4} = \frac{256}{625}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{4 - 3 x}{5 - 3 x}\right)^{x + 4} = \frac{256}{625}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{4 - 3 x}{5 - 3 x}\right)^{x + 4} = \frac{1}{32}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{4 - 3 x}{5 - 3 x}\right)^{x + 4} = \frac{1}{32}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{4 - 3 x}{5 - 3 x}\right)^{x + 4} = e^{\frac{1}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{4 - 3 x}{5 - 3 x}\right)^{x + 4} = \frac{256}{625}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{4 - 3 x}{5 - 3 x}\right)^{x + 4} = \frac{256}{625}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{4 - 3 x}{5 - 3 x}\right)^{x + 4} = \frac{1}{32}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{4 - 3 x}{5 - 3 x}\right)^{x + 4} = \frac{1}{32}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{4 - 3 x}{5 - 3 x}\right)^{x + 4} = e^{\frac{1}{3}}$$
Más detalles con x→-oo