Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- (x/(- uno +x))^(cuatro *x)
- (x dividir por ( menos 1 más x)) en el grado (4 multiplicar por x)
- (x dividir por ( menos uno más x)) en el grado (cuatro multiplicar por x)
- (x/(-1+x))(4*x)
- x/-1+x4*x
- (x/(-1+x))^(4x)
- (x/(-1+x))(4x)
- x/-1+x4x
- x/-1+x^4x
- (x dividir por (-1+x))^(4*x)
-
Expresiones semejantes
- (x/(-1-x))^(4*x)
- (x/(1+x))^(4*x)
Límite de la función (x/(-1+x))^(4*x)
Solución
Ha introducido
[src]
4*x
/ x \
lim |------|
x->oo\-1 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{4 x}$$
Limit((x/(-1 + x))^(4*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{4 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{4 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 1\right) + 1}{x - 1}\right)^{4 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}\right)^{4 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x - 1}\right)^{4 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 1}{1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x - 1}\right)^{4 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u + 4}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{4}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{4} = e^{4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{4 x} = e^{4}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{4 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{4 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 1\right) + 1}{x - 1}\right)^{4 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}\right)^{4 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x - 1}\right)^{4 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 1}{1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x - 1}\right)^{4 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u + 4}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{4}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{4} = e^{4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{4 x} = e^{4}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Gráfico