Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n + 3\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{8}}{n^{2} + 3 n + 2}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right) \left(n + 3\right)}{n^{8}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right) \left(n + 3\right)}{n^{8}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n + 3\right)}{\frac{d}{d n} \frac{n^{8}}{n^{2} + 3 n + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{- \frac{2 n^{9}}{n^{4} + 6 n^{3} + 13 n^{2} + 12 n + 4} - \frac{3 n^{8}}{n^{4} + 6 n^{3} + 13 n^{2} + 12 n + 4} + \frac{8 n^{7}}{n^{2} + 3 n + 2}}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{- \frac{2 n^{9}}{n^{4} + 6 n^{3} + 13 n^{2} + 12 n + 4} - \frac{3 n^{8}}{n^{4} + 6 n^{3} + 13 n^{2} + 12 n + 4} + \frac{8 n^{7}}{n^{2} + 3 n + 2}}$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)