Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- ((tres - tres *x)/(cuatro - tres *x))^(uno + dos *x)
- ((3 menos 3 multiplicar por x) dividir por (4 menos 3 multiplicar por x)) en el grado (1 más 2 multiplicar por x)
- ((tres menos tres multiplicar por x) dividir por (cuatro menos tres multiplicar por x)) en el grado (uno más dos multiplicar por x)
- ((3-3*x)/(4-3*x))(1+2*x)
- 3-3*x/4-3*x1+2*x
- ((3-3x)/(4-3x))^(1+2x)
- ((3-3x)/(4-3x))(1+2x)
- 3-3x/4-3x1+2x
- 3-3x/4-3x^1+2x
- ((3-3*x) dividir por (4-3*x))^(1+2*x)
-
Expresiones semejantes
- ((3-3*x)/(4+3*x))^(1+2*x)
- ((3-3*x)/(4-3*x))^(1-2*x)
- ((3+3*x)/(4-3*x))^(1+2*x)
Límite de la función ((3-3*x)/(4-3*x))^(1+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
1 + 2*x
/3 - 3*x\
lim |-------|
x->oo\4 - 3*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 - 3 x}{4 - 3 x}\right)^{2 x + 1}$$
Limit(((3 - 3*x)/(4 - 3*x))^(1 + 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 - 3 x}{4 - 3 x}\right)^{2 x + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 - 3 x}{4 - 3 x}\right)^{2 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(4 - 3 x\right) - 1}{4 - 3 x}\right)^{2 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{4 - 3 x} + \frac{4 - 3 x}{4 - 3 x}\right)^{2 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{4 - 3 x}\right)^{2 x + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{4 - 3 x}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{4 - 3 x}\right)^{2 x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2 u}{3} + \frac{11}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{3}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2 u}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{2}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{2}{3}} = e^{\frac{2}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 - 3 x}{4 - 3 x}\right)^{2 x + 1} = e^{\frac{2}{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 - 3 x}{4 - 3 x}\right)^{2 x + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 - 3 x}{4 - 3 x}\right)^{2 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(4 - 3 x\right) - 1}{4 - 3 x}\right)^{2 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{4 - 3 x} + \frac{4 - 3 x}{4 - 3 x}\right)^{2 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{4 - 3 x}\right)^{2 x + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{4 - 3 x}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{4 - 3 x}\right)^{2 x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2 u}{3} + \frac{11}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{3}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2 u}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{2}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{2}{3}} = e^{\frac{2}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 - 3 x}{4 - 3 x}\right)^{2 x + 1} = e^{\frac{2}{3}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
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