Sr Examen

Otras calculadoras:


(x/(-2+x))^x

Límite de la función (x/(-2+x))^x

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
             x
     /  x   \ 
 lim |------| 
x->4+\-2 + x/ 
$$\lim_{x \to 4^+} \left(\frac{x}{x - 2}\right)^{x}$$
Limit((x/(-2 + x))^x, x, 4)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 2}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 2}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 2\right) + 2}{x - 2}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x - 2} + \frac{2}{x - 2}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x - 2}\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 2}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x - 2}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u + 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2} = e^{2}$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 2}\right)^{x} = e^{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
A la izquierda y a la derecha [src]
             x
     /  x   \ 
 lim |------| 
x->4+\-2 + x/ 
$$\lim_{x \to 4^+} \left(\frac{x}{x - 2}\right)^{x}$$
16
$$16$$
= 16.0
             x
     /  x   \ 
 lim |------| 
x->4-\-2 + x/ 
$$\lim_{x \to 4^-} \left(\frac{x}{x - 2}\right)^{x}$$
16
$$16$$
= 16.0
= 16.0
Respuesta rápida [src]
16
$$16$$
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 4^-} \left(\frac{x}{x - 2}\right)^{x} = 16$$
Más detalles con x→4 a la izquierda
$$\lim_{x \to 4^+} \left(\frac{x}{x - 2}\right)^{x} = 16$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 2}\right)^{x} = e^{2}$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{x - 2}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{x - 2}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x}{x - 2}\right)^{x} = -1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x}{x - 2}\right)^{x} = -1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{x - 2}\right)^{x} = e^{2}$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src]
16.0
16.0
Gráfico
Límite de la función (x/(-2+x))^x