Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x \left(3 - x^{2}\right)\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 3\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-2 + \frac{6}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x^{3}}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x \left(3 - x^{2}\right)}{x^{3} - 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x \left(3 - x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} - 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 - 6 x^{2}}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 - 6 x^{2}}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$-2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)