Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\sqrt{x + 5} - \sqrt{10}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 5^+}\left(x^{2} - 2 x - 15\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{10}}{- 2 x + \left(x^{2} - 15\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{10}}{x^{2} - 2 x - 15}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 5} - \sqrt{10}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 2 x - 15\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x + 5} \left(2 x - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{\sqrt{10}}{20 \left(2 x - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{\sqrt{10}}{20 \left(2 x - 2\right)}\right)$$
=
$$\frac{\sqrt{10}}{160}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)