Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-3*x)^(2/x)
-
Límite de (1-cos(x))/(x*(-1+sqrt(1+x)))
-
Límite de (1-cos(2*x))/(-cos(3*x)+cos(7*x))
-
Límite de (1+1/x)^(3*x)
-
Expresiones idénticas
- - uno / tres +x*(x- tres /x)^ cinco
- menos 1 dividir por 3 más x multiplicar por (x menos 3 dividir por x) en el grado 5
- menos uno dividir por tres más x multiplicar por (x menos tres dividir por x) en el grado cinco
- -1/3+x*(x-3/x)5
- -1/3+x*x-3/x5
- -1/3+x*(x-3/x)⁵
- -1/3+x(x-3/x)^5
- -1/3+x(x-3/x)5
- -1/3+xx-3/x5
- -1/3+xx-3/x^5
- -1 dividir por 3+x*(x-3 dividir por x)^5
-
Expresiones semejantes
- 1/3+x*(x-3/x)^5
- -1/3-x*(x-3/x)^5
- -1/3+x*(x+3/x)^5
Límite de la función -1/3+x*(x-3/x)^5
Solución
Ha introducido
[src]
/ 5\
| 1 / 3\ |
lim |- - + x*|x - -| |
x->oo\ 3 \ x/ /
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x - \frac{3}{x}\right)^{5} - \frac{1}{3}\right)$$
Limit(-1/3 + x*(x - 3/x)^5, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{10} - 45 x^{8} + 270 x^{6} - 811 x^{4} + 1215 x^{2} - 729\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{4}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x - \frac{3}{x}\right)^{5} - \frac{1}{3}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{4} + 3 \left(x^{2} - 3\right)^{5}}{3 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{10} - 45 x^{8} + 270 x^{6} - 811 x^{4} + 1215 x^{2} - 729\right)}{\frac{d}{d x} 3 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{30 x^{9} - 360 x^{7} + 1620 x^{5} - 3244 x^{3} + 2430 x}{12 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(30 x^{9} - 360 x^{7} + 1620 x^{5} - 3244 x^{3} + 2430 x\right)}{\frac{d}{d x} 12 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{270 x^{8} - 2520 x^{6} + 8100 x^{4} - 9732 x^{2} + 2430}{36 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(270 x^{8} - 2520 x^{6} + 8100 x^{4} - 9732 x^{2} + 2430\right)}{\frac{d}{d x} 36 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2160 x^{7} - 15120 x^{5} + 32400 x^{3} - 19464 x}{72 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2160 x^{7} - 15120 x^{5} + 32400 x^{3} - 19464 x\right)}{\frac{d}{d x} 72 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(210 x^{6} - 1050 x^{4} + 1350 x^{2} - \frac{811}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(210 x^{6} - 1050 x^{4} + 1350 x^{2} - \frac{811}{3}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{10} - 45 x^{8} + 270 x^{6} - 811 x^{4} + 1215 x^{2} - 729\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{4}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x - \frac{3}{x}\right)^{5} - \frac{1}{3}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{4} + 3 \left(x^{2} - 3\right)^{5}}{3 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{10} - 45 x^{8} + 270 x^{6} - 811 x^{4} + 1215 x^{2} - 729\right)}{\frac{d}{d x} 3 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{30 x^{9} - 360 x^{7} + 1620 x^{5} - 3244 x^{3} + 2430 x}{12 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(30 x^{9} - 360 x^{7} + 1620 x^{5} - 3244 x^{3} + 2430 x\right)}{\frac{d}{d x} 12 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{270 x^{8} - 2520 x^{6} + 8100 x^{4} - 9732 x^{2} + 2430}{36 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(270 x^{8} - 2520 x^{6} + 8100 x^{4} - 9732 x^{2} + 2430\right)}{\frac{d}{d x} 36 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2160 x^{7} - 15120 x^{5} + 32400 x^{3} - 19464 x}{72 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2160 x^{7} - 15120 x^{5} + 32400 x^{3} - 19464 x\right)}{\frac{d}{d x} 72 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(210 x^{6} - 1050 x^{4} + 1350 x^{2} - \frac{811}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(210 x^{6} - 1050 x^{4} + 1350 x^{2} - \frac{811}{3}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x - \frac{3}{x}\right)^{5} - \frac{1}{3}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \left(x - \frac{3}{x}\right)^{5} - \frac{1}{3}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \left(x - \frac{3}{x}\right)^{5} - \frac{1}{3}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \left(x - \frac{3}{x}\right)^{5} - \frac{1}{3}\right) = - \frac{97}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \left(x - \frac{3}{x}\right)^{5} - \frac{1}{3}\right) = - \frac{97}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(x - \frac{3}{x}\right)^{5} - \frac{1}{3}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \left(x - \frac{3}{x}\right)^{5} - \frac{1}{3}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \left(x - \frac{3}{x}\right)^{5} - \frac{1}{3}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \left(x - \frac{3}{x}\right)^{5} - \frac{1}{3}\right) = - \frac{97}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \left(x - \frac{3}{x}\right)^{5} - \frac{1}{3}\right) = - \frac{97}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(x - \frac{3}{x}\right)^{5} - \frac{1}{3}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo