Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x - \frac{2}{3}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(6 x + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x - 2}{18 x + 3}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x - 2}{3 \left(6 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x - \frac{2}{3}\right)}{\frac{d}{d x} \left(6 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)