Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x^2))/(-4+sqrt(16+x^2))
-
Expresiones idénticas
- ((- siete + cinco *x)/(uno + cinco *x))^(-x^ dos)
- (( menos 7 más 5 multiplicar por x) dividir por (1 más 5 multiplicar por x)) en el grado ( menos x al cuadrado )
- (( menos siete más cinco multiplicar por x) dividir por (uno más cinco multiplicar por x)) en el grado ( menos x en el grado dos)
- ((-7+5*x)/(1+5*x))(-x2)
- -7+5*x/1+5*x-x2
- ((-7+5*x)/(1+5*x))^(-x²)
- ((-7+5*x)/(1+5*x)) en el grado (-x en el grado 2)
- ((-7+5x)/(1+5x))^(-x^2)
- ((-7+5x)/(1+5x))(-x2)
- -7+5x/1+5x-x2
- -7+5x/1+5x^-x^2
- ((-7+5*x) dividir por (1+5*x))^(-x^2)
-
Expresiones semejantes
- ((-7+5*x)/(1+5*x))^(x^2)
- ((-7+5*x)/(1-5*x))^(-x^2)
- ((7+5*x)/(1+5*x))^(-x^2)
- ((-7-5*x)/(1+5*x))^(-x^2)
Límite de la función ((-7+5*x)/(1+5*x))^(-x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
2
-x
/-7 + 5*x\
lim |--------|
x->oo\1 + 5*x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}}$$
Limit(((-7 + 5*x)/(1 + 5*x))^(-x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 x + 1\right) - 8}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{8}{5 x + 1} + \frac{5 x + 1}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{8}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 x + 1}{-8}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{8}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \left(- \frac{8 u}{5} - \frac{1}{5}\right)^{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\frac{1}{25} - \left(- \frac{8 u}{5} - \frac{1}{5}\right)^{2}}{u}}}{\sqrt[25]{1 + \frac{1}{u}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\sqrt[25]{1 + \frac{1}{u}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{1}{25} - \left(- \frac{8 u}{5} - \frac{1}{5}\right)^{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{1}{25} - \left(- \frac{8 u}{5} - \frac{1}{5}\right)^{2}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\frac{1}{25} - \left(- \frac{8 u}{5} - \frac{1}{5}\right)^{2}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\frac{1}{25} - \left(- \frac{8 u}{5} - \frac{1}{5}\right)^{2}}{u}} = e^{\frac{\frac{1}{25} - \left(- \frac{8 u}{5} - \frac{1}{5}\right)^{2}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}} = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 x + 1\right) - 8}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{8}{5 x + 1} + \frac{5 x + 1}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{8}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 x + 1}{-8}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{8}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \left(- \frac{8 u}{5} - \frac{1}{5}\right)^{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\frac{1}{25} - \left(- \frac{8 u}{5} - \frac{1}{5}\right)^{2}}{u}}}{\sqrt[25]{1 + \frac{1}{u}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\sqrt[25]{1 + \frac{1}{u}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{1}{25} - \left(- \frac{8 u}{5} - \frac{1}{5}\right)^{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{1}{25} - \left(- \frac{8 u}{5} - \frac{1}{5}\right)^{2}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\frac{1}{25} - \left(- \frac{8 u}{5} - \frac{1}{5}\right)^{2}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\frac{1}{25} - \left(- \frac{8 u}{5} - \frac{1}{5}\right)^{2}}{u}} = e^{\frac{\frac{1}{25} - \left(- \frac{8 u}{5} - \frac{1}{5}\right)^{2}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}} = \infty$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}} = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}} = -3$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}} = -3$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}} = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}} = -3$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}} = -3$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 1}\right)^{- x^{2}} = 0$$
Más detalles con x→-oo