Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- (n/(uno +n))^(- uno +n)
- (n dividir por (1 más n)) en el grado ( menos 1 más n)
- (n dividir por (uno más n)) en el grado ( menos uno más n)
- (n/(1+n))(-1+n)
- n/1+n-1+n
- n/1+n^-1+n
- (n dividir por (1+n))^(-1+n)
-
Expresiones semejantes
- (n/(1-n))^(-1+n)
- (n/(1+n))^(-1-n)
- (n/(1+n))^(1+n)
Límite de la función (n/(1+n))^(-1+n)
Solución
Ha introducido
[src]
-1 + n
/ n \
lim |-----|
n->oo\1 + n/
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n - 1}$$
Limit((n/(1 + n))^(-1 + n), n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n - 1}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n - 1}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(n + 1\right) - 1}{n + 1}\right)^{n - 1}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(- \frac{1}{n + 1} + \frac{n + 1}{n + 1}\right)^{n - 1}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 1}\right)^{n - 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{n + 1}{-1}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 1}\right)^{n - 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u - 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1} = e^{-1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n - 1} = e^{-1}$$
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n - 1}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n - 1}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(n + 1\right) - 1}{n + 1}\right)^{n - 1}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(- \frac{1}{n + 1} + \frac{n + 1}{n + 1}\right)^{n - 1}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 1}\right)^{n - 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{n + 1}{-1}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 1}\right)^{n - 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u - 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1} = e^{-1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n - 1} = e^{-1}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n - 1} = e^{-1}$$
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n - 1} = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n - 1} = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n - 1} = 1$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n - 1} = 1$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n - 1} = e^{-1}$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n - 1} = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n - 1} = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n - 1} = 1$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n - 1} = 1$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n - 1} = e^{-1}$$
Más detalles con n→-oo