Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(3 n^{4} + 5 n^{3} - 2\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(16 n^{4} + 160 n^{3} + 600 n^{2} + 1000 n + 625\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5 n^{3} + \left(3 n^{4} - 2\right)}{\left(2 n + 5\right)^{4}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{4} + 5 n^{3} - 2}{\left(2 n + 5\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(3 n^{4} + 5 n^{3} - 2\right)}{\frac{d}{d n} \left(16 n^{4} + 160 n^{3} + 600 n^{2} + 1000 n + 625\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{12 n^{3} + 15 n^{2}}{64 n^{3} + 480 n^{2} + 1200 n + 1000}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{12 n^{3} + 15 n^{2}}{64 n^{3} + 480 n^{2} + 1200 n + 1000}\right)$$
=
$$\frac{3}{16}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)