Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de x/sin(14*x)
-
Expresiones idénticas
- (-cos(x*e^(-x))+cos(x*e^x))/x^ tres
- ( menos coseno de (x multiplicar por e en el grado ( menos x)) más coseno de (x multiplicar por e en el grado x)) dividir por x al cubo
- ( menos coseno de (x multiplicar por e en el grado ( menos x)) más coseno de (x multiplicar por e en el grado x)) dividir por x en el grado tres
- (-cos(x*e(-x))+cos(x*ex))/x3
- -cosx*e-x+cosx*ex/x3
- (-cos(x*e^(-x))+cos(x*e^x))/x³
- (-cos(x*e en el grado (-x))+cos(x*e en el grado x))/x en el grado 3
- (-cos(xe^(-x))+cos(xe^x))/x^3
- (-cos(xe(-x))+cos(xex))/x3
- -cosxe-x+cosxex/x3
- -cosxe^-x+cosxe^x/x^3
- (-cos(x*e^(-x))+cos(x*e^x)) dividir por x^3
-
Expresiones semejantes
- (cos(x*e^(-x))+cos(x*e^x))/x^3
- (-cos(x*e^(x))+cos(x*e^x))/x^3
- (-cos(x*e^(-x))-cos(x*e^x))/x^3
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(sqrt((2-pi)/x))^x
- cos(3*x)*sin(x)*sin(2*x)/cot(4*x)
- cos(2*x)/2+cos(x)
- cos(-2+x)/(-2+x)
- cos(x)^(x^2/2)
- Coseno cos
- cos(sqrt((2-pi)/x))^x
- cos(3*x)*sin(x)*sin(2*x)/cot(4*x)
- cos(2*x)/2+cos(x)
- cos(-2+x)/(-2+x)
- cos(x)^(x^2/2)
Límite de la función (-cos(x*e^(-x))+cos(x*e^x))/x^3
Solución
Ha introducido
[src]
/ / -x\ / x\\
|- cos\x*E / + cos\x*E /|
lim |------------------------|
x->0+| 3 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos{\left(e^{- x} x \right)} + \cos{\left(e^{x} x \right)}}{x^{3}}\right)$$
Limit((-cos(x*E^(-x)) + cos(x*E^x))/x^3, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \cos{\left(x e^{- x} \right)} + \cos{\left(x e^{x} \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{3} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos{\left(e^{- x} x \right)} + \cos{\left(e^{x} x \right)}}{x^{3}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos{\left(x e^{- x} \right)} + \cos{\left(x e^{x} \right)}}{x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \cos{\left(x e^{- x} \right)} + \cos{\left(x e^{x} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x e^{x} \sin{\left(x e^{x} \right)} - x e^{- x} \sin{\left(x e^{- x} \right)} - e^{x} \sin{\left(x e^{x} \right)} + e^{- x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x e^{x} \sin{\left(x e^{x} \right)} - x e^{- x} \sin{\left(x e^{- x} \right)} - e^{x} \sin{\left(x e^{x} \right)} + e^{- x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x^{2} e^{2 x} \cos{\left(x e^{x} \right)} + x^{2} e^{- 2 x} \cos{\left(x e^{- x} \right)} - 2 x e^{2 x} \cos{\left(x e^{x} \right)} - x e^{x} \sin{\left(x e^{x} \right)} + x e^{- x} \sin{\left(x e^{- x} \right)} - 2 x e^{- 2 x} \cos{\left(x e^{- x} \right)} - e^{2 x} \cos{\left(x e^{x} \right)} - 2 e^{x} \sin{\left(x e^{x} \right)} - 2 e^{- x} \sin{\left(x e^{- x} \right)} + e^{- 2 x} \cos{\left(x e^{- x} \right)}}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} e^{2 x} \cos{\left(x e^{x} \right)} + x^{2} e^{- 2 x} \cos{\left(x e^{- x} \right)} - 2 x e^{2 x} \cos{\left(x e^{x} \right)} - x e^{x} \sin{\left(x e^{x} \right)} + x e^{- x} \sin{\left(x e^{- x} \right)} - 2 x e^{- 2 x} \cos{\left(x e^{- x} \right)} - e^{2 x} \cos{\left(x e^{x} \right)} - 2 e^{x} \sin{\left(x e^{x} \right)} - 2 e^{- x} \sin{\left(x e^{- x} \right)} + e^{- 2 x} \cos{\left(x e^{- x} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{3} e^{3 x} \sin{\left(x e^{x} \right)}}{6} + \frac{x^{3} e^{- 3 x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{6} + \frac{x^{2} e^{3 x} \sin{\left(x e^{x} \right)}}{2} - \frac{x^{2} e^{2 x} \cos{\left(x e^{x} \right)}}{2} - \frac{x^{2} e^{- 2 x} \cos{\left(x e^{- x} \right)}}{2} - \frac{x^{2} e^{- 3 x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{2} + \frac{x e^{3 x} \sin{\left(x e^{x} \right)}}{2} - \frac{3 x e^{2 x} \cos{\left(x e^{x} \right)}}{2} - \frac{x e^{x} \sin{\left(x e^{x} \right)}}{6} - \frac{x e^{- x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{6} + \frac{3 x e^{- 2 x} \cos{\left(x e^{- x} \right)}}{2} + \frac{x e^{- 3 x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{2} + \frac{e^{3 x} \sin{\left(x e^{x} \right)}}{6} - e^{2 x} \cos{\left(x e^{x} \right)} - \frac{e^{x} \sin{\left(x e^{x} \right)}}{2} + \frac{e^{- x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{2} - e^{- 2 x} \cos{\left(x e^{- x} \right)} - \frac{e^{- 3 x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{3} e^{3 x} \sin{\left(x e^{x} \right)}}{6} + \frac{x^{3} e^{- 3 x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{6} + \frac{x^{2} e^{3 x} \sin{\left(x e^{x} \right)}}{2} - \frac{x^{2} e^{2 x} \cos{\left(x e^{x} \right)}}{2} - \frac{x^{2} e^{- 2 x} \cos{\left(x e^{- x} \right)}}{2} - \frac{x^{2} e^{- 3 x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{2} + \frac{x e^{3 x} \sin{\left(x e^{x} \right)}}{2} - \frac{3 x e^{2 x} \cos{\left(x e^{x} \right)}}{2} - \frac{x e^{x} \sin{\left(x e^{x} \right)}}{6} - \frac{x e^{- x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{6} + \frac{3 x e^{- 2 x} \cos{\left(x e^{- x} \right)}}{2} + \frac{x e^{- 3 x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{2} + \frac{e^{3 x} \sin{\left(x e^{x} \right)}}{6} - e^{2 x} \cos{\left(x e^{x} \right)} - \frac{e^{x} \sin{\left(x e^{x} \right)}}{2} + \frac{e^{- x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{2} - e^{- 2 x} \cos{\left(x e^{- x} \right)} - \frac{e^{- 3 x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{6}\right)$$
=
$$-2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \cos{\left(x e^{- x} \right)} + \cos{\left(x e^{x} \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{3} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos{\left(e^{- x} x \right)} + \cos{\left(e^{x} x \right)}}{x^{3}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos{\left(x e^{- x} \right)} + \cos{\left(x e^{x} \right)}}{x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \cos{\left(x e^{- x} \right)} + \cos{\left(x e^{x} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x e^{x} \sin{\left(x e^{x} \right)} - x e^{- x} \sin{\left(x e^{- x} \right)} - e^{x} \sin{\left(x e^{x} \right)} + e^{- x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x e^{x} \sin{\left(x e^{x} \right)} - x e^{- x} \sin{\left(x e^{- x} \right)} - e^{x} \sin{\left(x e^{x} \right)} + e^{- x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x^{2} e^{2 x} \cos{\left(x e^{x} \right)} + x^{2} e^{- 2 x} \cos{\left(x e^{- x} \right)} - 2 x e^{2 x} \cos{\left(x e^{x} \right)} - x e^{x} \sin{\left(x e^{x} \right)} + x e^{- x} \sin{\left(x e^{- x} \right)} - 2 x e^{- 2 x} \cos{\left(x e^{- x} \right)} - e^{2 x} \cos{\left(x e^{x} \right)} - 2 e^{x} \sin{\left(x e^{x} \right)} - 2 e^{- x} \sin{\left(x e^{- x} \right)} + e^{- 2 x} \cos{\left(x e^{- x} \right)}}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} e^{2 x} \cos{\left(x e^{x} \right)} + x^{2} e^{- 2 x} \cos{\left(x e^{- x} \right)} - 2 x e^{2 x} \cos{\left(x e^{x} \right)} - x e^{x} \sin{\left(x e^{x} \right)} + x e^{- x} \sin{\left(x e^{- x} \right)} - 2 x e^{- 2 x} \cos{\left(x e^{- x} \right)} - e^{2 x} \cos{\left(x e^{x} \right)} - 2 e^{x} \sin{\left(x e^{x} \right)} - 2 e^{- x} \sin{\left(x e^{- x} \right)} + e^{- 2 x} \cos{\left(x e^{- x} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{3} e^{3 x} \sin{\left(x e^{x} \right)}}{6} + \frac{x^{3} e^{- 3 x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{6} + \frac{x^{2} e^{3 x} \sin{\left(x e^{x} \right)}}{2} - \frac{x^{2} e^{2 x} \cos{\left(x e^{x} \right)}}{2} - \frac{x^{2} e^{- 2 x} \cos{\left(x e^{- x} \right)}}{2} - \frac{x^{2} e^{- 3 x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{2} + \frac{x e^{3 x} \sin{\left(x e^{x} \right)}}{2} - \frac{3 x e^{2 x} \cos{\left(x e^{x} \right)}}{2} - \frac{x e^{x} \sin{\left(x e^{x} \right)}}{6} - \frac{x e^{- x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{6} + \frac{3 x e^{- 2 x} \cos{\left(x e^{- x} \right)}}{2} + \frac{x e^{- 3 x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{2} + \frac{e^{3 x} \sin{\left(x e^{x} \right)}}{6} - e^{2 x} \cos{\left(x e^{x} \right)} - \frac{e^{x} \sin{\left(x e^{x} \right)}}{2} + \frac{e^{- x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{2} - e^{- 2 x} \cos{\left(x e^{- x} \right)} - \frac{e^{- 3 x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{3} e^{3 x} \sin{\left(x e^{x} \right)}}{6} + \frac{x^{3} e^{- 3 x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{6} + \frac{x^{2} e^{3 x} \sin{\left(x e^{x} \right)}}{2} - \frac{x^{2} e^{2 x} \cos{\left(x e^{x} \right)}}{2} - \frac{x^{2} e^{- 2 x} \cos{\left(x e^{- x} \right)}}{2} - \frac{x^{2} e^{- 3 x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{2} + \frac{x e^{3 x} \sin{\left(x e^{x} \right)}}{2} - \frac{3 x e^{2 x} \cos{\left(x e^{x} \right)}}{2} - \frac{x e^{x} \sin{\left(x e^{x} \right)}}{6} - \frac{x e^{- x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{6} + \frac{3 x e^{- 2 x} \cos{\left(x e^{- x} \right)}}{2} + \frac{x e^{- 3 x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{2} + \frac{e^{3 x} \sin{\left(x e^{x} \right)}}{6} - e^{2 x} \cos{\left(x e^{x} \right)} - \frac{e^{x} \sin{\left(x e^{x} \right)}}{2} + \frac{e^{- x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{2} - e^{- 2 x} \cos{\left(x e^{- x} \right)} - \frac{e^{- 3 x} \sin{\left(x e^{- x} \right)}}{6}\right)$$
=
$$-2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \cos{\left(e^{- x} x \right)} + \cos{\left(e^{x} x \right)}}{x^{3}}\right) = -2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos{\left(e^{- x} x \right)} + \cos{\left(e^{x} x \right)}}{x^{3}}\right) = -2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \cos{\left(e^{- x} x \right)} + \cos{\left(e^{x} x \right)}}{x^{3}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \cos{\left(e^{- x} x \right)} + \cos{\left(e^{x} x \right)}}{x^{3}}\right) = - \cos{\left(e^{-1} \right)} + \cos{\left(e \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \cos{\left(e^{- x} x \right)} + \cos{\left(e^{x} x \right)}}{x^{3}}\right) = - \cos{\left(e^{-1} \right)} + \cos{\left(e \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \cos{\left(e^{- x} x \right)} + \cos{\left(e^{x} x \right)}}{x^{3}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos{\left(e^{- x} x \right)} + \cos{\left(e^{x} x \right)}}{x^{3}}\right) = -2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \cos{\left(e^{- x} x \right)} + \cos{\left(e^{x} x \right)}}{x^{3}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \cos{\left(e^{- x} x \right)} + \cos{\left(e^{x} x \right)}}{x^{3}}\right) = - \cos{\left(e^{-1} \right)} + \cos{\left(e \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \cos{\left(e^{- x} x \right)} + \cos{\left(e^{x} x \right)}}{x^{3}}\right) = - \cos{\left(e^{-1} \right)} + \cos{\left(e \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \cos{\left(e^{- x} x \right)} + \cos{\left(e^{x} x \right)}}{x^{3}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ / -x\ / x\\
|- cos\x*E / + cos\x*E /|
lim |------------------------|
x->0+| 3 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos{\left(e^{- x} x \right)} + \cos{\left(e^{x} x \right)}}{x^{3}}\right)$$
-2
$$-2$$
= -2.0
/ / -x\ / x\\
|- cos\x*E / + cos\x*E /|
lim |------------------------|
x->0-| 3 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \cos{\left(e^{- x} x \right)} + \cos{\left(e^{x} x \right)}}{x^{3}}\right)$$
-2
$$-2$$
= -2.0
= -2.0
Gráfico