Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
-
Límite de (1+3/x)^(2*x)
-
Límite de ((2+x)/x)^x
-
Expresiones idénticas
- x^ cinco /(uno +x)^ cinco
- x en el grado 5 dividir por (1 más x) en el grado 5
- x en el grado cinco dividir por (uno más x) en el grado cinco
- x5/(1+x)5
- x5/1+x5
- x⁵/(1+x)⁵
- x^5/1+x^5
- x^5 dividir por (1+x)^5
-
Expresiones semejantes
- x^5/(1-x)^5
Límite de la función x^5/(1+x)^5
Solución
Ha introducido
[src]
/ 5 \
| x |
lim |--------|
x->oo| 5|
\(1 + x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5}}{\left(x + 1\right)^{5}}\right)$$
Limit(x^5/(1 + x)^5, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5}}{\left(x + 1\right)^{5}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^5:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5}}{\left(x + 1\right)^{5}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{5}{x} + \frac{10}{x^{2}} + \frac{10}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}} + \frac{1}{x^{5}}}$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{5}{x} + \frac{10}{x^{2}} + \frac{10}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}} + \frac{1}{x^{5}}} = \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{u^{5} + 5 u^{4} + 10 u^{3} + 10 u^{2} + 5 u + 1}$$
=
$$\frac{1}{0^{5} + 0 \cdot 5 + 5 \cdot 0^{4} + 10 \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0^{3} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5}}{\left(x + 1\right)^{5}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5}}{\left(x + 1\right)^{5}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^5:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5}}{\left(x + 1\right)^{5}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{5}{x} + \frac{10}{x^{2}} + \frac{10}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}} + \frac{1}{x^{5}}}$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{5}{x} + \frac{10}{x^{2}} + \frac{10}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}} + \frac{1}{x^{5}}} = \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{u^{5} + 5 u^{4} + 10 u^{3} + 10 u^{2} + 5 u + 1}$$
=
$$\frac{1}{0^{5} + 0 \cdot 5 + 5 \cdot 0^{4} + 10 \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0^{3} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5}}{\left(x + 1\right)^{5}}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{5} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{5} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5}}{\left(x + 1\right)^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{5}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{\left(x + 1\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{4}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x + 1\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{3}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{2 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 5 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{5} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{5} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5}}{\left(x + 1\right)^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{5}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{\left(x + 1\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{4}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x + 1\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{3}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{2 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 5 vez (veces)
Gráfica
Gráfico