Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de -6+8*x/3
-
Límite de (-3+sqrt(5+x))/(-4+x)
-
Límite de ((1+x)/(-1+x))^x
-
Expresiones idénticas
- (- veinte +x^ dos + ocho *x)/(dos +x-x^ dos)
- ( menos 20 más x al cuadrado más 8 multiplicar por x) dividir por (2 más x menos x al cuadrado )
- ( menos veinte más x en el grado dos más ocho multiplicar por x) dividir por (dos más x menos x en el grado dos)
- (-20+x2+8*x)/(2+x-x2)
- -20+x2+8*x/2+x-x2
- (-20+x²+8*x)/(2+x-x²)
- (-20+x en el grado 2+8*x)/(2+x-x en el grado 2)
- (-20+x^2+8x)/(2+x-x^2)
- (-20+x2+8x)/(2+x-x2)
- -20+x2+8x/2+x-x2
- -20+x^2+8x/2+x-x^2
- (-20+x^2+8*x) dividir por (2+x-x^2)
-
Expresiones semejantes
- (-20+x^2-8*x)/(2+x-x^2)
- (-20+x^2+8*x)/(2-x-x^2)
- (20+x^2+8*x)/(2+x-x^2)
- (-20-x^2+8*x)/(2+x-x^2)
- (-20+x^2+8*x)/(2+x+x^2)
Límite de la función (-20+x^2+8*x)/(2+x-x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|-20 + x + 8*x|
lim |--------------|
x->oo| 2 |
\ 2 + x - x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x + \left(x^{2} - 20\right)}{- x^{2} + \left(x + 2\right)}\right)$$
Limit((-20 + x^2 + 8*x)/(2 + x - x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x + \left(x^{2} - 20\right)}{- x^{2} + \left(x + 2\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x + \left(x^{2} - 20\right)}{- x^{2} + \left(x + 2\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{8}{x} - \frac{20}{x^{2}}}{-1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{8}{x} - \frac{20}{x^{2}}}{-1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 20 u^{2} + 8 u + 1}{2 u^{2} + u - 1}\right)$$
=
$$\frac{- 20 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 8 + 1}{-1 + 2 \cdot 0^{2}} = -1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x + \left(x^{2} - 20\right)}{- x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x + \left(x^{2} - 20\right)}{- x^{2} + \left(x + 2\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x + \left(x^{2} - 20\right)}{- x^{2} + \left(x + 2\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{8}{x} - \frac{20}{x^{2}}}{-1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{8}{x} - \frac{20}{x^{2}}}{-1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 20 u^{2} + 8 u + 1}{2 u^{2} + u - 1}\right)$$
=
$$\frac{- 20 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 8 + 1}{-1 + 2 \cdot 0^{2}} = -1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x + \left(x^{2} - 20\right)}{- x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = -1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 8 x - 20\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + x + 2\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x + \left(x^{2} - 20\right)}{- x^{2} + \left(x + 2\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8 x - 20}{- x^{2} + x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 8 x - 20\right)}{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 8}{1 - 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 8\right)}{\frac{d}{d x} \left(1 - 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 8 x - 20\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + x + 2\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x + \left(x^{2} - 20\right)}{- x^{2} + \left(x + 2\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8 x - 20}{- x^{2} + x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 8 x - 20\right)}{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 8}{1 - 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 8\right)}{\frac{d}{d x} \left(1 - 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
|-20 + x + 8*x|
lim |--------------|
x->2+| 2 |
\ 2 + x - x /
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{8 x + \left(x^{2} - 20\right)}{- x^{2} + \left(x + 2\right)}\right)$$
-4
$$-4$$
= -4.0
/ 2 \
|-20 + x + 8*x|
lim |--------------|
x->2-| 2 |
\ 2 + x - x /
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{8 x + \left(x^{2} - 20\right)}{- x^{2} + \left(x + 2\right)}\right)$$
-4
$$-4$$
= -4.0
= -4.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x + \left(x^{2} - 20\right)}{- x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{8 x + \left(x^{2} - 20\right)}{- x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = -10$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8 x + \left(x^{2} - 20\right)}{- x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = -10$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{8 x + \left(x^{2} - 20\right)}{- x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = - \frac{11}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{8 x + \left(x^{2} - 20\right)}{- x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = - \frac{11}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x + \left(x^{2} - 20\right)}{- x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{8 x + \left(x^{2} - 20\right)}{- x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = -10$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8 x + \left(x^{2} - 20\right)}{- x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = -10$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{8 x + \left(x^{2} - 20\right)}{- x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = - \frac{11}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{8 x + \left(x^{2} - 20\right)}{- x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = - \frac{11}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x + \left(x^{2} - 20\right)}{- x^{2} + \left(x + 2\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico