Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{6} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} e^{2 x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{- 2 x} x^{6}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{6} e^{- 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{6}}{\frac{d}{d x} e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{5} e^{- 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 3 x^{5}}{\frac{d}{d x} e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{15 x^{4} e^{- 2 x}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{15 x^{4}}{2}}{\frac{d}{d x} e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(15 x^{3} e^{- 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 15 x^{3}}{\frac{d}{d x} e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{45 x^{2} e^{- 2 x}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{45 x^{2}}{2}}{\frac{d}{d x} e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{45 x e^{- 2 x}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{45 x}{2}}{\frac{d}{d x} e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{45 e^{- 2 x}}{4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{45 e^{- 2 x}}{4}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 6 vez (veces)