Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-12+x+x^2)/(sqrt(-2+x)-sqrt(4-x))
-
Límite de (5+x^2)/(-3+x^2)
-
Límite de (-2+sqrt(1+x))/(-1+sqrt(-2+x))
-
Límite de (6-11*x+3*x^2)/(-3-5*x+2*x^2)
-
Expresiones idénticas
- (uno + cuatro ^x)/(cuatro +x^ dos)
- (1 más 4 en el grado x) dividir por (4 más x al cuadrado )
- (uno más cuatro en el grado x) dividir por (cuatro más x en el grado dos)
- (1+4x)/(4+x2)
- 1+4x/4+x2
- (1+4^x)/(4+x²)
- (1+4 en el grado x)/(4+x en el grado 2)
- 1+4^x/4+x^2
- (1+4^x) dividir por (4+x^2)
-
Expresiones semejantes
- (1-4^x)/(4+x^2)
- (1+4^x)/(4-x^2)
Límite de la función (1+4^x)/(4+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ x\
|1 + 4 |
lim |------|
x->oo| 2|
\4 + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{x} + 1}{x^{2} + 4}\right)$$
Limit((1 + 4^x)/(4 + x^2), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(4^{x} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{x} + 1}{x^{2} + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4^{x} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{x} \log{\left(4 \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{4^{x} \log{\left(4 \right)}}{2}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \cdot 4^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}{\frac{d}{d x} 2 \cdot 4^{- x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 0$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 0$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(4^{x} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{x} + 1}{x^{2} + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4^{x} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{x} \log{\left(4 \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{4^{x} \log{\left(4 \right)}}{2}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \cdot 4^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}{\frac{d}{d x} 2 \cdot 4^{- x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 0$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 0$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{x} + 1}{x^{2} + 4}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{4^{x} + 1}{x^{2} + 4}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4^{x} + 1}{x^{2} + 4}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4^{x} + 1}{x^{2} + 4}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4^{x} + 1}{x^{2} + 4}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4^{x} + 1}{x^{2} + 4}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{4^{x} + 1}{x^{2} + 4}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4^{x} + 1}{x^{2} + 4}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4^{x} + 1}{x^{2} + 4}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4^{x} + 1}{x^{2} + 4}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4^{x} + 1}{x^{2} + 4}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo