Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- uno /(- uno +e^x)- uno /x
- 1 dividir por ( menos 1 más e en el grado x) menos 1 dividir por x
- uno dividir por ( menos uno más e en el grado x) menos uno dividir por x
- 1/(-1+ex)-1/x
- 1/-1+ex-1/x
- 1/-1+e^x-1/x
- 1 dividir por (-1+e^x)-1 dividir por x
-
Expresiones semejantes
- 1/(1+e^x)-1/x
- 1/(-1-e^x)-1/x
- 1/(-1+e^x)+1/x
Límite de la función 1/(-1+e^x)-1/x
Solución
Ha introducido
[src]
/ 1 1\
lim |------- - -|
x->0+| x x|
\-1 + E /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right)$$
Limit(1/(-1 + E^x) - 1/x, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x - e^{x} + 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x e^{x} - x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x - e^{x} + 1}{x \left(e^{x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x - e^{x} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x e^{x} - x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - e^{x}}{x e^{x} + e^{x} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - e^{x}}{x e^{x} + e^{x} - 1}\right)$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x - e^{x} + 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x e^{x} - x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x - e^{x} + 1}{x \left(e^{x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x - e^{x} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x e^{x} - x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - e^{x}}{x e^{x} + e^{x} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - e^{x}}{x e^{x} + e^{x} - 1}\right)$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 1 1\
lim |------- - -|
x->0+| x x|
\-1 + E /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right)$$
-1/2
$$- \frac{1}{2}$$
= -0.5
/ 1 1\
lim |------- - -|
x->0-| x x|
\-1 + E /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right)$$
-1/2
$$- \frac{1}{2}$$
= -0.5
= -0.5
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right) = - \frac{-2 + e}{-1 + e}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right) = - \frac{-2 + e}{-1 + e}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right) = - \frac{-2 + e}{-1 + e}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right) = - \frac{-2 + e}{-1 + e}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico