Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-3*x)^(2/x)
-
Límite de (1-cos(x))/(x*(-1+sqrt(1+x)))
-
Límite de (1-cos(2*x))/(-cos(3*x)+cos(7*x))
-
Límite de (1+1/x)^(3*x)
-
Expresiones idénticas
- x^ dos *((uno + uno /x)^ ocho -(uno + dos /x)^ cuatro)
- x al cuadrado multiplicar por ((1 más 1 dividir por x) en el grado 8 menos (1 más 2 dividir por x) en el grado 4)
- x en el grado dos multiplicar por ((uno más uno dividir por x) en el grado ocho menos (uno más dos dividir por x) en el grado cuatro)
- x2*((1+1/x)8-(1+2/x)4)
- x2*1+1/x8-1+2/x4
- x²*((1+1/x)⁸-(1+2/x)⁴)
- x en el grado 2*((1+1/x) en el grado 8-(1+2/x) en el grado 4)
- x^2((1+1/x)^8-(1+2/x)^4)
- x2((1+1/x)8-(1+2/x)4)
- x21+1/x8-1+2/x4
- x^21+1/x^8-1+2/x^4
- x^2*((1+1 dividir por x)^8-(1+2 dividir por x)^4)
-
Expresiones semejantes
- x^2*((1+1/x)^8-(1-2/x)^4)
- x^2*((1-1/x)^8-(1+2/x)^4)
- x^2*((1+1/x)^8+(1+2/x)^4)
Límite de la función x^2*((1+1/x)^8-(1+2/x)^4)
Solución
Ha introducido
[src]
/ / 8 4\\
| 2 |/ 1\ / 2\ ||
lim |x *||1 + -| - |1 + -| ||
x->oo\ \\ x/ \ x/ //
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{8} - \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{4}\right)\right)$$
Limit(x^2*((1 + 1/x)^8 - (1 + 2/x)^4), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x^{6} + 24 x^{5} + 54 x^{4} + 56 x^{3} + 28 x^{2} + 8 x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{6} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{8} - \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{4}\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{4} \left(x + 2\right)^{4} + \left(x + 1\right)^{8}}{x^{6}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x^{6} + 24 x^{5} + 54 x^{4} + 56 x^{3} + 28 x^{2} + 8 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{6}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{24 x^{5} + 120 x^{4} + 216 x^{3} + 168 x^{2} + 56 x + 8}{6 x^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(24 x^{5} + 120 x^{4} + 216 x^{3} + 168 x^{2} + 56 x + 8\right)}{\frac{d}{d x} 6 x^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{120 x^{4} + 480 x^{3} + 648 x^{2} + 336 x + 56}{30 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(120 x^{4} + 480 x^{3} + 648 x^{2} + 336 x + 56\right)}{\frac{d}{d x} 30 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{480 x^{3} + 1440 x^{2} + 1296 x + 336}{120 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(480 x^{3} + 1440 x^{2} + 1296 x + 336\right)}{\frac{d}{d x} 120 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1440 x^{2} + 2880 x + 1296}{360 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1440 x^{2} + 2880 x + 1296\right)}{\frac{d}{d x} 360 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2880 x + 2880}{720 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2880 x + 2880\right)}{\frac{d}{d x} 720 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 4$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 4$$
=
$$4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 6 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x^{6} + 24 x^{5} + 54 x^{4} + 56 x^{3} + 28 x^{2} + 8 x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{6} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{8} - \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{4}\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{4} \left(x + 2\right)^{4} + \left(x + 1\right)^{8}}{x^{6}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x^{6} + 24 x^{5} + 54 x^{4} + 56 x^{3} + 28 x^{2} + 8 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{6}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{24 x^{5} + 120 x^{4} + 216 x^{3} + 168 x^{2} + 56 x + 8}{6 x^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(24 x^{5} + 120 x^{4} + 216 x^{3} + 168 x^{2} + 56 x + 8\right)}{\frac{d}{d x} 6 x^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{120 x^{4} + 480 x^{3} + 648 x^{2} + 336 x + 56}{30 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(120 x^{4} + 480 x^{3} + 648 x^{2} + 336 x + 56\right)}{\frac{d}{d x} 30 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{480 x^{3} + 1440 x^{2} + 1296 x + 336}{120 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(480 x^{3} + 1440 x^{2} + 1296 x + 336\right)}{\frac{d}{d x} 120 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1440 x^{2} + 2880 x + 1296}{360 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1440 x^{2} + 2880 x + 1296\right)}{\frac{d}{d x} 360 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2880 x + 2880}{720 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2880 x + 2880\right)}{\frac{d}{d x} 720 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 4$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 4$$
=
$$4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 6 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{8} - \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{4}\right)\right) = 4$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{8} - \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{4}\right)\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{8} - \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{4}\right)\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{8} - \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{4}\right)\right) = 175$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{8} - \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{4}\right)\right) = 175$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{8} - \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{4}\right)\right) = 4$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{8} - \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{4}\right)\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{8} - \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{4}\right)\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{8} - \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{4}\right)\right) = 175$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{8} - \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{4}\right)\right) = 175$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{8} - \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{4}\right)\right) = 4$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico