Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-3*x)^(2/x)
-
Límite de (1-cos(x))/(x*(-1+sqrt(1+x)))
-
Límite de (1-cos(2*x))/(-cos(3*x)+cos(7*x))
-
Límite de (1+1/x)^(3*x)
-
Expresiones idénticas
- ((dos +x)/(tres +x))^(uno + seis *x)
- ((2 más x) dividir por (3 más x)) en el grado (1 más 6 multiplicar por x)
- ((dos más x) dividir por (tres más x)) en el grado (uno más seis multiplicar por x)
- ((2+x)/(3+x))(1+6*x)
- 2+x/3+x1+6*x
- ((2+x)/(3+x))^(1+6x)
- ((2+x)/(3+x))(1+6x)
- 2+x/3+x1+6x
- 2+x/3+x^1+6x
- ((2+x) dividir por (3+x))^(1+6*x)
-
Expresiones semejantes
- ((2+x)/(3+x))^(1-6*x)
- ((2-x)/(3+x))^(1+6*x)
- ((2+x)/(3-x))^(1+6*x)
Límite de la función ((2+x)/(3+x))^(1+6*x)
Solución
Ha introducido
[src]
1 + 6*x
/2 + x\
lim |-----|
x->oo\3 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{6 x + 1}$$
Limit(((2 + x)/(3 + x))^(1 + 6*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{6 x + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{6 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 3\right) - 1}{x + 3}\right)^{6 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3}\right)^{6 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 3}\right)^{6 x + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 3}\right)^{6 x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u - 17}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{17}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{17}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6} = e^{-6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{6 x + 1} = e^{-6}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{6 x + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{6 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 3\right) - 1}{x + 3}\right)^{6 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3}\right)^{6 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 3}\right)^{6 x + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 3}\right)^{6 x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u - 17}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{17}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{17}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6} = e^{-6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{6 x + 1} = e^{-6}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{6 x + 1} = e^{-6}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{6 x + 1} = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{6 x + 1} = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{6 x + 1} = \frac{2187}{16384}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{6 x + 1} = \frac{2187}{16384}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{6 x + 1} = e^{-6}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{6 x + 1} = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{6 x + 1} = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{6 x + 1} = \frac{2187}{16384}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{6 x + 1} = \frac{2187}{16384}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{6 x + 1} = e^{-6}$$
Más detalles con x→-oo