Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(x^{2} - 4\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x}{x + 2} - \frac{2}{x + 2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x - 2}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)}{x - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(\frac{x}{x + 2} - \frac{2}{x + 2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 x}{- \frac{x}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{x + 2} + \frac{2}{\left(x + 2\right)^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{4}{- \frac{x}{x^{2} + 4 x + 4} + \frac{2}{x^{2} + 4 x + 4} + \frac{1}{x + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{4}{- \frac{x}{x^{2} + 4 x + 4} + \frac{2}{x^{2} + 4 x + 4} + \frac{1}{x + 2}}\right)$$
=
$$16$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)