Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} 2^{x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2^{x}}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}}{2}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{\frac{d}{d x} 2 \cdot 2^{- x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 0$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 0$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)