Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- ((uno +x)/x)^(uno +x)
- ((1 más x) dividir por x) en el grado (1 más x)
- ((uno más x) dividir por x) en el grado (uno más x)
- ((1+x)/x)(1+x)
- 1+x/x1+x
- 1+x/x^1+x
- ((1+x) dividir por x)^(1+x)
-
Expresiones semejantes
- ((1+x)/x)^(1-x)
- ((1-x)/x)^(1+x)
Límite de la función ((1+x)/x)^(1+x)
Solución
Ha introducido
[src]
1 + x
/1 + x\
lim |-----|
x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x}\right)^{x + 1}$$
Limit(((1 + x)/x)^(1 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x}\right)^{x + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x}\right)^{x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x}\right)^{x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{1}{x}\right)^{x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u + 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right) \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right) = e$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x}\right)^{x + 1} = e$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x}\right)^{x + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x}\right)^{x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x}\right)^{x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{1}{x}\right)^{x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u + 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right) \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right) = e$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x}\right)^{x + 1} = e$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x}\right)^{x + 1} = e$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 1}{x}\right)^{x + 1} = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 1}{x}\right)^{x + 1} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 1}{x}\right)^{x + 1} = 4$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 1}{x}\right)^{x + 1} = 4$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 1}{x}\right)^{x + 1} = e$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 1}{x}\right)^{x + 1} = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 1}{x}\right)^{x + 1} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 1}{x}\right)^{x + 1} = 4$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 1}{x}\right)^{x + 1} = 4$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 1}{x}\right)^{x + 1} = e$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico