Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x \tan{\left(4 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin^{2}{\left(6 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x \tan{\left(4 x \right)}}{\sin^{2}{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x \tan{\left(4 x \right)}}{\sin^{2}{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x \tan{\left(4 x \right)}}{\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x \left(4 \tan^{2}{\left(4 x \right)} + 4\right) + 2 \tan{\left(4 x \right)}}{12 \sin{\left(6 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8 x \tan^{2}{\left(4 x \right)} + 8 x + 2 \tan{\left(4 x \right)}}{12 \sin{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8 x \tan^{2}{\left(4 x \right)} + 8 x + 2 \tan{\left(4 x \right)}}{12 \sin{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
$$\frac{2}{9}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)