Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 2 x + 5\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x e^{3} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(x^{2} + 5\right)}{e^{3} x + 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x + 5}{x e^{3} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x + 5\right)}{\frac{d}{d x} \left(x e^{3} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 2}{e^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 2}{e^{3}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)