Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 4 x + 7\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 2 x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) + \frac{3}{x + 2}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right)^{2} + 3}{x \left(x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 4 x + 7\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 4}{2 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 4}{2 x + 2}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)