Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- x^x*(uno +x)^(- uno -x)
- x en el grado x multiplicar por (1 más x) en el grado ( menos 1 menos x)
- x en el grado x multiplicar por (uno más x) en el grado ( menos uno menos x)
- xx*(1+x)(-1-x)
- xx*1+x-1-x
- x^x(1+x)^(-1-x)
- xx(1+x)(-1-x)
- xx1+x-1-x
- x^x1+x^-1-x
-
Expresiones semejantes
- x^x*(1-x)^(-1-x)
- x^x*(1+x)^(-1+x)
- x^x*(1+x)^(1-x)
Límite de la función x^x*(1+x)^(-1-x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ x -1 - x\ lim \x *(1 + x) / x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{x} \left(x + 1\right)^{- x - 1}\right)$$
Limit(x^x*(1 + x)^(-1 - x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{x + 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{x} \left(x + 1\right)^{- x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{x}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x} \left(x + 1\right)^{- x - 1} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\log{\left(x + 1 \right)} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x^{x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\log{\left(x + 1 \right)} + 1}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{x} \log{\left(x \right)}}{x \log{\left(x + 1 \right)}^{2} + 2 x \log{\left(x + 1 \right)} + x + \log{\left(x + 1 \right)}^{2} + 2 \log{\left(x + 1 \right)} + 1} - \frac{x^{x}}{x \log{\left(x + 1 \right)}^{2} + 2 x \log{\left(x + 1 \right)} + x + \log{\left(x + 1 \right)}^{2} + 2 \log{\left(x + 1 \right)} + 1} + \frac{x^{x} \log{\left(x \right)}^{2}}{\log{\left(x + 1 \right)} + 1} + \frac{2 x^{x} \log{\left(x \right)}}{\log{\left(x + 1 \right)} + 1} + \frac{x^{x}}{\log{\left(x + 1 \right)} + 1} + \frac{x^{x}}{x \log{\left(x + 1 \right)} + x}}{x \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x + 1 \right)} + x \left(x + 1\right)^{x} + \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x + 1 \right)} + \left(x + 1\right)^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{x} \log{\left(x \right)}}{x \log{\left(x + 1 \right)}^{2} + 2 x \log{\left(x + 1 \right)} + x + \log{\left(x + 1 \right)}^{2} + 2 \log{\left(x + 1 \right)} + 1} - \frac{x^{x}}{x \log{\left(x + 1 \right)}^{2} + 2 x \log{\left(x + 1 \right)} + x + \log{\left(x + 1 \right)}^{2} + 2 \log{\left(x + 1 \right)} + 1} + \frac{x^{x} \log{\left(x \right)}^{2}}{\log{\left(x + 1 \right)} + 1} + \frac{2 x^{x} \log{\left(x \right)}}{\log{\left(x + 1 \right)} + 1} + \frac{x^{x}}{\log{\left(x + 1 \right)} + 1} + \frac{x^{x}}{x \log{\left(x + 1 \right)} + x}}{x \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x + 1 \right)} + x \left(x + 1\right)^{x} + \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x + 1 \right)} + \left(x + 1\right)^{x}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{x + 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{x} \left(x + 1\right)^{- x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{x}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x} \left(x + 1\right)^{- x - 1} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\log{\left(x + 1 \right)} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x^{x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\log{\left(x + 1 \right)} + 1}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{x} \log{\left(x \right)}}{x \log{\left(x + 1 \right)}^{2} + 2 x \log{\left(x + 1 \right)} + x + \log{\left(x + 1 \right)}^{2} + 2 \log{\left(x + 1 \right)} + 1} - \frac{x^{x}}{x \log{\left(x + 1 \right)}^{2} + 2 x \log{\left(x + 1 \right)} + x + \log{\left(x + 1 \right)}^{2} + 2 \log{\left(x + 1 \right)} + 1} + \frac{x^{x} \log{\left(x \right)}^{2}}{\log{\left(x + 1 \right)} + 1} + \frac{2 x^{x} \log{\left(x \right)}}{\log{\left(x + 1 \right)} + 1} + \frac{x^{x}}{\log{\left(x + 1 \right)} + 1} + \frac{x^{x}}{x \log{\left(x + 1 \right)} + x}}{x \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x + 1 \right)} + x \left(x + 1\right)^{x} + \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x + 1 \right)} + \left(x + 1\right)^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{x} \log{\left(x \right)}}{x \log{\left(x + 1 \right)}^{2} + 2 x \log{\left(x + 1 \right)} + x + \log{\left(x + 1 \right)}^{2} + 2 \log{\left(x + 1 \right)} + 1} - \frac{x^{x}}{x \log{\left(x + 1 \right)}^{2} + 2 x \log{\left(x + 1 \right)} + x + \log{\left(x + 1 \right)}^{2} + 2 \log{\left(x + 1 \right)} + 1} + \frac{x^{x} \log{\left(x \right)}^{2}}{\log{\left(x + 1 \right)} + 1} + \frac{2 x^{x} \log{\left(x \right)}}{\log{\left(x + 1 \right)} + 1} + \frac{x^{x}}{\log{\left(x + 1 \right)} + 1} + \frac{x^{x}}{x \log{\left(x + 1 \right)} + x}}{x \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x + 1 \right)} + x \left(x + 1\right)^{x} + \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x + 1 \right)} + \left(x + 1\right)^{x}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{x} \left(x + 1\right)^{- x - 1}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x^{x} \left(x + 1\right)^{- x - 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{x} \left(x + 1\right)^{- x - 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x^{x} \left(x + 1\right)^{- x - 1}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{x} \left(x + 1\right)^{- x - 1}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{x} \left(x + 1\right)^{- x - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x^{x} \left(x + 1\right)^{- x - 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{x} \left(x + 1\right)^{- x - 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x^{x} \left(x + 1\right)^{- x - 1}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{x} \left(x + 1\right)^{- x - 1}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{x} \left(x + 1\right)^{- x - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico