Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Límite de x^2/(1-cos(6*x))
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- ((tres + cuatro *x)/(uno + cuatro *x))^(- cinco + dos *x)
- ((3 más 4 multiplicar por x) dividir por (1 más 4 multiplicar por x)) en el grado ( menos 5 más 2 multiplicar por x)
- ((tres más cuatro multiplicar por x) dividir por (uno más cuatro multiplicar por x)) en el grado ( menos cinco más dos multiplicar por x)
- ((3+4*x)/(1+4*x))(-5+2*x)
- 3+4*x/1+4*x-5+2*x
- ((3+4x)/(1+4x))^(-5+2x)
- ((3+4x)/(1+4x))(-5+2x)
- 3+4x/1+4x-5+2x
- 3+4x/1+4x^-5+2x
- ((3+4*x) dividir por (1+4*x))^(-5+2*x)
-
Expresiones semejantes
- ((3+4*x)/(1-4*x))^(-5+2*x)
- ((3+4*x)/(1+4*x))^(5+2*x)
- ((3+4*x)/(1+4*x))^(-5-2*x)
- ((3-4*x)/(1+4*x))^(-5+2*x)
Límite de la función ((3+4*x)/(1+4*x))^(-5+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
-5 + 2*x
/3 + 4*x\
lim |-------|
x->oo\1 + 4*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5}$$
Limit(((3 + 4*x)/(1 + 4*x))^(-5 + 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(4 x + 1\right) + 2}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 1}{4 x + 1} + \frac{2}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{4 x + 1}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u - \frac{11}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{2}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right) = e$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5} = e$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(4 x + 1\right) + 2}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 1}{4 x + 1} + \frac{2}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{4 x + 1}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u - \frac{11}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{2}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right) = e$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5} = e$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5} = e$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5} = \frac{1}{243}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5} = \frac{1}{243}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5} = \frac{125}{343}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5} = \frac{125}{343}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5} = e$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5} = \frac{1}{243}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5} = \frac{1}{243}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5} = \frac{125}{343}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5} = \frac{125}{343}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 1}\right)^{2 x - 5} = e$$
Más detalles con x→-oo