Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x^2))/(-4+sqrt(16+x^2))
-
Expresiones idénticas
- ((tres + seis *x)/(- dos + seis *x))^(siete +x)
- ((3 más 6 multiplicar por x) dividir por ( menos 2 más 6 multiplicar por x)) en el grado (7 más x)
- ((tres más seis multiplicar por x) dividir por ( menos dos más seis multiplicar por x)) en el grado (siete más x)
- ((3+6*x)/(-2+6*x))(7+x)
- 3+6*x/-2+6*x7+x
- ((3+6x)/(-2+6x))^(7+x)
- ((3+6x)/(-2+6x))(7+x)
- 3+6x/-2+6x7+x
- 3+6x/-2+6x^7+x
- ((3+6*x) dividir por (-2+6*x))^(7+x)
-
Expresiones semejantes
- ((3+6*x)/(-2-6*x))^(7+x)
- ((3+6*x)/(2+6*x))^(7+x)
- ((3+6*x)/(-2+6*x))^(7-x)
- ((3-6*x)/(-2+6*x))^(7+x)
Límite de la función ((3+6*x)/(-2+6*x))^(7+x)
Solución
Ha introducido
[src]
7 + x
/3 + 6*x \
lim |--------|
x->oo\-2 + 6*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x + 3}{6 x - 2}\right)^{x + 7}$$
Limit(((3 + 6*x)/(-2 + 6*x))^(7 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x + 3}{6 x - 2}\right)^{x + 7}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x + 3}{6 x - 2}\right)^{x + 7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(6 x - 2\right) + 5}{6 x - 2}\right)^{x + 7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x - 2}{6 x - 2} + \frac{5}{6 x - 2}\right)^{x + 7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{6 x - 2}\right)^{x + 7}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{6 x - 2}{5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{6 x - 2}\right)^{x + 7}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{6} + \frac{22}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{22}{3}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{6}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{22}{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{6}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{6}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{5}{6}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{5}{6}} = e^{\frac{5}{6}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x + 3}{6 x - 2}\right)^{x + 7} = e^{\frac{5}{6}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x + 3}{6 x - 2}\right)^{x + 7}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x + 3}{6 x - 2}\right)^{x + 7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(6 x - 2\right) + 5}{6 x - 2}\right)^{x + 7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x - 2}{6 x - 2} + \frac{5}{6 x - 2}\right)^{x + 7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{6 x - 2}\right)^{x + 7}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{6 x - 2}{5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{6 x - 2}\right)^{x + 7}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{6} + \frac{22}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{22}{3}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{6}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{22}{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{6}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{6}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{5}{6}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{5}{6}} = e^{\frac{5}{6}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x + 3}{6 x - 2}\right)^{x + 7} = e^{\frac{5}{6}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x + 3}{6 x - 2}\right)^{x + 7} = e^{\frac{5}{6}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{6 x + 3}{6 x - 2}\right)^{x + 7} = - \frac{2187}{128}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{6 x + 3}{6 x - 2}\right)^{x + 7} = - \frac{2187}{128}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{6 x + 3}{6 x - 2}\right)^{x + 7} = \frac{43046721}{65536}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{6 x + 3}{6 x - 2}\right)^{x + 7} = \frac{43046721}{65536}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{6 x + 3}{6 x - 2}\right)^{x + 7} = e^{\frac{5}{6}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{6 x + 3}{6 x - 2}\right)^{x + 7} = - \frac{2187}{128}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{6 x + 3}{6 x - 2}\right)^{x + 7} = - \frac{2187}{128}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{6 x + 3}{6 x - 2}\right)^{x + 7} = \frac{43046721}{65536}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{6 x + 3}{6 x - 2}\right)^{x + 7} = \frac{43046721}{65536}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{6 x + 3}{6 x - 2}\right)^{x + 7} = e^{\frac{5}{6}}$$
Más detalles con x→-oo