Sr Examen
Otras calculadoras:
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¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1+1/x
-
Límite de (2-5*x^2+3*x^3)/(-x+2*x^3+5*x^2)
-
Límite de (sqrt(1+2*x)-sqrt(6+x))/(-15-7*x+2*x^2)
-
Límite de (sqrt(3+2*x)-sqrt(4+x))/(1-4*x+3*x^2)
-
Expresiones idénticas
- ((tres + cinco *x)/(cuatro + cinco *x))^(uno + cuatro *x)
- ((3 más 5 multiplicar por x) dividir por (4 más 5 multiplicar por x)) en el grado (1 más 4 multiplicar por x)
- ((tres más cinco multiplicar por x) dividir por (cuatro más cinco multiplicar por x)) en el grado (uno más cuatro multiplicar por x)
- ((3+5*x)/(4+5*x))(1+4*x)
- 3+5*x/4+5*x1+4*x
- ((3+5x)/(4+5x))^(1+4x)
- ((3+5x)/(4+5x))(1+4x)
- 3+5x/4+5x1+4x
- 3+5x/4+5x^1+4x
- ((3+5*x) dividir por (4+5*x))^(1+4*x)
-
Expresiones semejantes
- ((3+5*x)/(4+5*x))^(1-4*x)
- ((3-5*x)/(4+5*x))^(1+4*x)
- ((3+5*x)/(4-5*x))^(1+4*x)
Límite de la función ((3+5*x)/(4+5*x))^(1+4*x)
Solución
Ha introducido
[src]
1 + 4*x
/3 + 5*x\
lim |-------|
x->oo\4 + 5*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 3}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1}$$
Limit(((3 + 5*x)/(4 + 5*x))^(1 + 4*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 3}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 3}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 x + 4\right) - 1}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{5 x + 4} + \frac{5 x + 4}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 x + 4}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{5} - \frac{11}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{5}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{5}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{5}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{5}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{4}{5}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{4}{5}} = e^{- \frac{4}{5}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 3}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1} = e^{- \frac{4}{5}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 3}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 3}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 x + 4\right) - 1}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{5 x + 4} + \frac{5 x + 4}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 x + 4}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{5} - \frac{11}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{5}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{5}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{5}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{4 u}{5}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{4}{5}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{4}{5}} = e^{- \frac{4}{5}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 3}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1} = e^{- \frac{4}{5}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 3}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1} = e^{- \frac{4}{5}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{5 x + 3}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1} = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{5 x + 3}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1} = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{5 x + 3}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1} = \frac{32768}{59049}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{5 x + 3}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1} = \frac{32768}{59049}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{5 x + 3}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1} = e^{- \frac{4}{5}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{5 x + 3}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1} = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{5 x + 3}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1} = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{5 x + 3}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1} = \frac{32768}{59049}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{5 x + 3}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1} = \frac{32768}{59049}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{5 x + 3}{5 x + 4}\right)^{4 x + 1} = e^{- \frac{4}{5}}$$
Más detalles con x→-oo