Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(3 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x + 3\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x^{2} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{5 x^{2} + \left(5 x + \left(3 x^{3} + 3\right)\right)}{x^{2} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{3 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x + 3}{x^{2} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x + 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{9 x^{2} + 10 x + 5}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{9 x^{2}}{2} - 5 x - \frac{5}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{9 x^{2}}{2} - 5 x - \frac{5}{2}\right)$$
=
$$-2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)