Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\left(x + 1\right) \left(x^{2} - 2 x - 1\right)\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x^{4} + 4 x^{2} - 5\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(x^{2} - 1\right)\right) \left(x + 1\right)}{4 x^{2} + \left(x^{4} - 5\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\left(x + 1\right) \left(x^{2} - 2 x - 1\right)}{x^{4} + 4 x^{2} - 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right) \left(x^{2} - 2 x - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 4 x^{2} - 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{3 x^{2} - 2 x - 3}{4 x^{3} + 8 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{3 x^{2} - 2 x - 3}{4 x^{3} + 8 x}\right)$$
=
$$- \frac{1}{6}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)