Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x^{2} \left|{x + 1}\right|\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x + 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{2} \left|{x + 1}\right|}{x + 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{2} \left|{x + 1}\right|}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2} \left|{x + 1}\right|}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{2} \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x + 1} + \frac{x^{2} \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{x + 1} + \frac{x^{2} \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x + 1} + 2 x \left|{x + 1}\right|\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{2} \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x + 1} + \frac{x^{2} \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{x + 1} + \frac{x^{2} \operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x + 1} + 2 x \left|{x + 1}\right|\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)